Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem4 15526
 Description: Lemma for vdw 15536. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
vdwlem3.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem4.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h (𝜑𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
vdwlem4.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem4 (𝜑𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅𝑚 (1...𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝜑   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem vdwlem4
StepHypRef Expression
1 vdwlem4.h . . . . . 6 (𝜑𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
21ad2antrr 758 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝐻:(1...(𝑊 · (2 · 𝑉)))⟶𝑅)
3 vdwlem3.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℕ)
43ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑉 ∈ ℕ)
5 vdwlem3.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
65ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑊 ∈ ℕ)
7 simplr 788 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑥 ∈ (1...𝑉))
8 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → 𝑦 ∈ (1...𝑊))
94, 6, 7, 8vdwlem3 15525 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))) ∈ (1...(𝑊 · (2 · 𝑉))))
102, 9ffvelrnd 6268 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑊)) → (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉)))) ∈ 𝑅)
11 eqid 2610 . . . 4 (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) = (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉)))))
1210, 11fmptd 6292 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅)
13 vdwlem4.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) → 𝑅 ∈ Fin)
15 ovex 6577 . . . 4 (1...𝑊) ∈ V
16 elmapg 7757 . . . 4 ((𝑅 ∈ Fin ∧ (1...𝑊) ∈ V) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅𝑚 (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
1714, 15, 16sylancl 693 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) → ((𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅𝑚 (1...𝑊)) ↔ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))):(1...𝑊)⟶𝑅))
1812, 17mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝑉)) → (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))) ∈ (𝑅𝑚 (1...𝑊)))
19 vdwlem4.f . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...𝑊) ↦ (𝐻‘(𝑦 + (𝑊 · ((𝑥 − 1) + 𝑉))))))
2018, 19fmptd 6292 1 (𝜑𝐹:(1...𝑉)⟶(𝑅𝑚 (1...𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ...cfz 12197 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198 This theorem is referenced by:  vdwlem5  15527  vdwlem6  15528  vdwlem9  15531
 Copyright terms: Public domain W3C validator