Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgfrgragt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgfrgragt2 26554
 Description: Any vertex in a friendship graph (with more than one vertex - then, actually, the graph must have at least three vertices, because otherwise, it would not be a friendship graph) has at least degree 2, see remark 3 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "It follows that deg(v) >= 2 for every node v of a friendship graph". (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgfrgragt2 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁)))

Proof of Theorem vdgfrgragt2
StepHypRef Expression
1 vdgn0frgrav2 26551 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0))
21imp 444 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0)
3 vdgn1frgrav2 26553 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1))
43imp 444 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1)
5 frisusgra 26519 . . . . . . . . . 10 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 USGrph 𝐸)
6 usgrav 25867 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
76simpld 474 . . . . . . . . . 10 (𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ V)
9 usgrafun 25878 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 USGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
105, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
11 funfn 5833 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐸𝐸 Fn dom 𝐸)
1210, 11sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝐸 Fn dom 𝐸)
136simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
145, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑉 FriendGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
15 dmexg 6989 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ V → dom 𝐸 ∈ V)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → dom 𝐸 ∈ V)
178, 12, 163jca 1235 . . . . . . . 8 (𝑉 FriendGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ dom 𝐸 ∈ V))
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ dom 𝐸 ∈ V))
19 vdgrf 26425 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ dom 𝐸 ∈ V) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (𝑉 VDeg 𝐸):𝑉⟶(ℕ0 ∪ {+∞}))
21 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → 𝑁𝑉)
2220, 21ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}))
23 elun 3715 . . . . . 6 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) ↔ (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞}))
24 nn0n0n1ge2 11235 . . . . . . . 8 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 ∧ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))
25243exp 1256 . . . . . . 7 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
26 elsni 4142 . . . . . . . 8 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞} → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞)
27 2re 10967 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2827rexri 9976 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ*
29 pnfge 11840 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 2 ≤ +∞
31 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞ → (2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ↔ 2 ≤ +∞))
3230, 31mpbiri 247 . . . . . . . . 9 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞ → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))
33322a1d 26 . . . . . . . 8 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) = +∞ → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3426, 33syl 17 . . . . . . 7 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞} → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3525, 34jaoi 393 . . . . . 6 ((((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ {+∞}) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3623, 35sylbi 206 . . . . 5 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ∈ (ℕ0 ∪ {+∞}) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3722, 36syl 17 . . . 4 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
3837adantr 480 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 0 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁) ≠ 1 → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))))
392, 4, 38mp2d 47 . 2 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) ∧ 1 < (#‘𝑉)) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁))
4039ex 449 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑁𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 2 ≤ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  #chash 12979   USGrph cusg 25859   VDeg cvdg 26420   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862  df-vdgr 26421  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  frgrawopreglem2  26572
 Copyright terms: Public domain W3C validator