Theorem vdegp1ai-av 40752

Description: The induction step for a vertex degree calculation. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑋, 𝑌} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈 ≠ 𝑌, yields degree 𝑃 as well. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai-av.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai-av.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai-av.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai-av.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai-av.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai-av.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1ai-av.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1ai-av.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1ai-av.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
vdegp1ai-av.yu	⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
vdegp1ai-av.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1ai-av	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1ai-av

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4836	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
2		vdegp1ai-av.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai-av.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai-av.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 13165	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2})
6		ffun 5961	. . . . . 6 ⊢ (𝐼:(0..^(#‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
8	4, 7	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → Fun 𝐼)
9		vdegp1ai-av.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
11		vdegp1ai-av.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩)
12		wrdv 13175	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
14		cats1un 13327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑋, 𝑌} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
15	13, 14	mpan 702	. . . . 5 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
16	11, 15	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(#‘𝐼), {𝑋, 𝑌}⟩}))
17		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (#‘𝐼) ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (#‘𝐼) ∈ V)
19		wrdlndm 13176	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
20	4, 19	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (#‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
21		vdegp1ai-av.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
23		id 22	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → {𝑋, 𝑌} ∈ V)
24		vdegp1ai-av.xu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
25	24	necomi 2836	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
26		vdegp1ai-av.yu	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 ≠ 𝑈
27	26	necomi 2836	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑌
28	25, 27	prneli 4150	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌}
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → 𝑈 ∉ {𝑋, 𝑌})
30	2, 3, 8, 10, 16, 18, 20, 22, 23, 29	p1evtxdeq 40729	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈))
31	1, 30	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
32		vdegp1ai-av.d	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
33	31, 32	eqtri 2632	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = 𝑃

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   ≤ cle 9954  2c2 10947  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-vtxdg 40682

This theorem is referenced by:  konigsberglem1  41422  konigsberglem2  41423  konigsberglem3  41424