Theorem usgredgprvALT 40422

Description: Alternate proof of usgredgprv 40421, using usgredg2 40419 instead of umgredgprv 25773. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgredgprv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredgprvALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Proof of Theorem usgredgprvALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2		usgredgprv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	usgrss 40404	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
4	1	usgredg2 40419	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (#‘(𝐸‘𝑋)) = 2)
5		sseq1 3589	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
6		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (#‘(𝐸‘𝑋)) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
7	6	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((#‘(𝐸‘𝑋)) = 2 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
8	5, 7	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (#‘(𝐸‘𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
9		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
10	9	hashprdifel 13047	. . . . . 6 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
11		prssg 4290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
12	11	3adant3 1074	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
13	12	biimprd 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	10, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15	14	impcom 445	. . . 4 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
16	8, 15	syl6bi 242	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (#‘(𝐸‘𝑋)) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
17	16	com12 32	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (#‘(𝐸‘𝑋)) = 2) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
18	3, 4, 17	syl2anc 691	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   USGraph cusgr 40379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-umgr 25750  df-usgr 40381

This theorem is referenced by: (None)