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Theorem usgra2wlkspthlem2 26148
 Description: Lemma 2 for usgra2wlkspth 26149. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2wlkspthlem2 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐹   𝑃,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem usgra2wlkspthlem2
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 2 → (0...(#‘𝐹)) = (0...2))
21feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃:(0...2)⟶𝑉))
3 fz0tp 12309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0...2) = {0, 1, 2}
43feq2i 5950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃:(0...2)⟶𝑉𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉)
54biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:(0...2)⟶𝑉𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉)
62, 5syl6bi 242 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉))
76ad2antll 761 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉))
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉))
98impcom 445 . . . . . . . . 9 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) → 𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉)
10 eqeq12 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘2) ↔ 𝐴 = 𝐵))
1110biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘2) → 𝐴 = 𝐵))
1211necon3d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) → (𝐴𝐵 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
13123impia 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
1514adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
17 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}) → 𝑉 USGrph 𝐸)
18 usgrafun 25878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 USGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
19 wrdf 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
20 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^2))
2120feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝐹) = 2 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸))
22 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ V
2322prid1 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ∈ {0, 1}
24 fzo0to2pr 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0..^2) = {0, 1}
2523, 24eleqtrri 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ (0..^2)
26 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 ∧ 0 ∈ (0..^2)) → (𝐹‘0) ∈ dom 𝐸)
2725, 26mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (𝐹‘0) ∈ dom 𝐸)
2821, 27syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) = 2 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘0) ∈ dom 𝐸))
2919, 28mpan9 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹‘0) ∈ dom 𝐸)
30 fvelrn 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝐸 ∧ (𝐹‘0) ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘0)) ∈ ran 𝐸)
3118, 29, 30syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘0)) ∈ ran 𝐸)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}) → (𝐸‘(𝐹‘0)) ∈ ran 𝐸)
33 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → ((𝐸‘(𝐹‘0)) ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ ran 𝐸))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}) → ((𝐸‘(𝐹‘0)) ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ ran 𝐸))
3532, 34mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ ran 𝐸)
36 usgraedgrn 25910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ ran 𝐸) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
3717, 35, 36syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
3837ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
39 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → 𝑉 USGrph 𝐸)
40 1ex 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ V
4140prid2 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 ∈ {0, 1}
4241, 24eleqtrri 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ (0..^2)
43 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 ∧ 1 ∈ (0..^2)) → (𝐹‘1) ∈ dom 𝐸)
4442, 43mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (𝐹‘1) ∈ dom 𝐸)
4521, 44syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐹) = 2 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐹‘1) ∈ dom 𝐸))
4619, 45mpan9 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝐹‘1) ∈ dom 𝐸)
47 fvelrn 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝐸 ∧ (𝐹‘1) ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘1)) ∈ ran 𝐸)
4818, 46, 47syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → (𝐸‘(𝐹‘1)) ∈ ran 𝐸)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐸‘(𝐹‘1)) ∈ ran 𝐸)
50 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → ((𝐸‘(𝐹‘1)) ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ ran 𝐸))
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝐸‘(𝐹‘1)) ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ ran 𝐸))
5249, 51mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ ran 𝐸)
53 usgraedgrn 25910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ ran 𝐸) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
5439, 52, 53syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
5554ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ((𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
5638, 55anim12d 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
5756adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
5857imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
60 3anan12 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
6116, 59, 60sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ 𝑉 USGrph 𝐸) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))) ∧ 𝑃:(0...2)⟶𝑉) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
6261exp41 636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) → (𝑉 USGrph 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))))
6362impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
64 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘2))
6564eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘2) = 𝐵))
66653anbi2d 1396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵)))
6720, 24syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1})
6867raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
69 2wlklem 26094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
7068, 69syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})))
7166, 70anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 2 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))))
722imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))) ↔ (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
7371, 72imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = 2 → (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))))
7473ad2antll 761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) → (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))) ↔ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝑃:(0...2)⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))))
7563, 74mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
7675imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))))
7776impcom 445 . . . . . . . . 9 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
78 2z 11286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
7922, 40, 783pm3.2i 1232 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ)
80 0ne1 10965 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
81 0ne2 11116 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 2
82 1ne2 11117 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 2
8380, 81, 823pm3.2i 1232 . . . . . . . . . . 11 (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)
8479, 83pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2))
85 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 {0, 1, 2} = {0, 1, 2}
8685f13dfv 6430 . . . . . . . . . 10 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 2)) → (𝑃:{0, 1, 2}–1-1𝑉 ↔ (𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉 ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
8784, 86mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) → (𝑃:{0, 1, 2}–1-1𝑉 ↔ (𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉 ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))))
889, 77, 87mpbir2and 959 . . . . . . . 8 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) → 𝑃:{0, 1, 2}–1-1𝑉)
89 df-f1 5809 . . . . . . . 8 (𝑃:{0, 1, 2}–1-1𝑉 ↔ (𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃))
9088, 89sylib 207 . . . . . . 7 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) → (𝑃:{0, 1, 2}⟶𝑉 ∧ Fun 𝑃))
9190simprd 478 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))) → Fun 𝑃)
9291expcom 450 . . . . 5 (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → Fun 𝑃))
9392ex 449 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → Fun 𝑃)))
9493com23 84 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2)) → (𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝑃)))
9594impancom 455 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝑃)))
9695impcom 445 1 (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127  {ctp 4129   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   USGrph cusg 25859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862 This theorem is referenced by:  usgra2wlkspth  26149
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