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Theorem usgra2wlkspthlem1 26147
 Description: Lemma 1 for usgra2wlkspth 26149. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgra2wlkspthlem1 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝐹))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐹   𝑃,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)

Proof of Theorem usgra2wlkspthlem1
StepHypRef Expression
1 wrdf 13165 . . 3 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
2 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
4 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = (0..^2))
5 fzo0to2pr 12420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^2) = {0, 1}
64, 5syl6req 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → {0, 1} = (0..^(#‘𝐹)))
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → {0, 1} = (0..^(#‘𝐹)))
87ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → {0, 1} = (0..^(#‘𝐹)))
98feq2d 5944 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝐹:{0, 1}⟶dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸))
103, 9mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝐹:{0, 1}⟶dom 𝐸)
11 preq1 4212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) = 𝐴 → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝐴, (𝑃‘1)})
1211eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ↔ (𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)}))
13 preq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘2) = 𝐵 → {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {(𝑃‘1), 𝐵})
1413eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘2) = 𝐵 → ((𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}))
1512, 14bi2anan9 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})))
16153adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})))
17 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (𝐸‘(𝐹‘0)) = (𝐸‘(𝐹‘1)))
1817eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ↔ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {𝐴, (𝑃‘1)}))
1918anbi1d 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}) ↔ ((𝐸‘(𝐹‘1)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})))
2019anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})) ↔ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘1)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}))))
21 eqtr2 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐸‘(𝐹‘1)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}) → {𝐴, (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), 𝐵})
22 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃‘0) ∈ V
23 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐴 = (𝑃‘0) → (𝐴 ∈ V ↔ (𝑃‘0) ∈ V))
2423eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑃‘0) = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ↔ (𝑃‘0) ∈ V))
2522, 24mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑃‘0) = 𝐴𝐴 ∈ V)
26 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃‘1) ∈ V
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑃‘0) = 𝐴 → (𝑃‘1) ∈ V)
2825, 27jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃‘0) = 𝐴 → (𝐴 ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V))
2926a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑃‘2) = 𝐵 → (𝑃‘1) ∈ V)
30 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃‘2) ∈ V
31 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐵 = (𝑃‘2) → (𝐵 ∈ V ↔ (𝑃‘2) ∈ V))
3231eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑃‘2) = 𝐵 → (𝐵 ∈ V ↔ (𝑃‘2) ∈ V))
3330, 32mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑃‘2) = 𝐵𝐵 ∈ V)
3429, 33jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃‘2) = 𝐵 → ((𝑃‘1) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
3528, 34anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) → ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V) ∧ ((𝑃‘1) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) → ((𝐴 ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V) ∧ ((𝑃‘1) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
37 preq12bg 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐴 ∈ V ∧ (𝑃‘1) ∈ V) ∧ ((𝑃‘1) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)) → ({𝐴, (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), 𝐵} ↔ ((𝐴 = (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∨ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝑃‘1) = (𝑃‘1)))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) → ({𝐴, (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), 𝐵} ↔ ((𝐴 = (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∨ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝑃‘1) = (𝑃‘1)))))
39 eqtr 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 = (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
40 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 = 𝐵 ∧ (𝑃‘1) = (𝑃‘1)) → 𝐴 = 𝐵)
4139, 40jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐴 = (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) ∨ (𝐴 = 𝐵 ∧ (𝑃‘1) = (𝑃‘1))) → 𝐴 = 𝐵)
4238, 41syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) → ({𝐴, (𝑃‘1)} = {(𝑃‘1), 𝐵} → 𝐴 = 𝐵))
4321, 42syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐸‘(𝐹‘1)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) → 𝐴 = 𝐵))
4443impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘1)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})) → 𝐴 = 𝐵)
4520, 44syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})) → 𝐴 = 𝐵))
4645com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})) → ((𝐹‘0) = (𝐹‘1) → 𝐴 = 𝐵))
4746necon3d 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})) → (𝐴𝐵 → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
4847a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵})) → (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (𝐴𝐵 → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
4948exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) → (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}) → (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (𝐴𝐵 → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
5049com25 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵) → (𝐴𝐵 → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}) → (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))))
51503impia 1253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {𝐴, (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), 𝐵}) → (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
5216, 51sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) → (((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) → (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
5352imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
5453com13 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
554feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 2 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸))
56 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝐹) = 2 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘2))
5756eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ↔ (𝑃‘2) = 𝐵))
58573anbi2d 1396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝐹) = 2 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ↔ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵)))
594, 5syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝐹) = 2 → (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1})
6059raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
61 2wlklem 26094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖 ∈ {0, 1} (𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
6260, 61syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝐹) = 2 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})))
6358, 62anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐹) = 2 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))))
6463imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) = 2 → (((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)) ↔ ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
6555, 64imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐹) = 2 → ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))) ↔ (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))) ↔ (𝐹:(0..^2)⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘2) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ((𝐸‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐸‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))))
6754, 66mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
6867impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
6968imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))
7010, 69jca 553 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝐹:{0, 1}⟶dom 𝐸 ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1)))
71 c0ex 9913 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
72 1ex 9914 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
7371, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
74 0ne1 10965 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
7573, 74pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ 0 ≠ 1)
76 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 {0, 1} = {0, 1}
7776f12dfv 6429 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ 0 ≠ 1) → (𝐹:{0, 1}–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:{0, 1}⟶dom 𝐸 ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
7875, 77mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝐹:{0, 1}–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:{0, 1}⟶dom 𝐸 ∧ (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘1))))
7970, 78mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → 𝐹:{0, 1}–1-1→dom 𝐸)
80 df-f1 5809 . . . . . . . . 9 (𝐹:{0, 1}–1-1→dom 𝐸 ↔ (𝐹:{0, 1}⟶dom 𝐸 ∧ Fun 𝐹))
8179, 80sylib 207 . . . . . . . 8 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → (𝐹:{0, 1}⟶dom 𝐸 ∧ Fun 𝐹))
8281simprd 478 . . . . . . 7 (((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) → Fun 𝐹)
8382ex 449 . . . . . 6 ((𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 ∧ ((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝐹))
8483expcom 450 . . . . 5 (((#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸) → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝐹)))
8584ex 449 . . . 4 ((#‘𝐹) = 2 → (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 → (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝐹))))
8685com13 86 . . 3 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸 → (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 → ((#‘𝐹) = 2 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝐹))))
871, 86syl 17 . 2 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 → ((#‘𝐹) = 2 → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝐹))))
88873imp 1249 1 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1→ran 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵𝐴𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154 This theorem is referenced by:  usgra2wlkspth  26149
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