Theorem usgra2wlkspth 26149

Description: In a undirected simple graph, any walk of length 2 between two different vertices is a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
usgra2wlkspth	⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃))

Proof of Theorem usgra2wlkspth

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkonprop 26063	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)))
2		simplr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃)
3		iswlk 26048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4	3	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
5		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
6	5	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
7	6	ad4antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
8		usgraf1 25889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸)
9	8	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸)
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸)
11		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘𝐹) = 2)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (#‘𝐹) = 2)
13	7, 10, 12	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2))
14		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15	14	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)
17	16	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)
18		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	15, 17, 19	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
21		simp3 1056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
22	21	ad4antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
23	20, 22	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
24		usgra2wlkspthlem1 26147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝐸:dom 𝐸–1-1→ran 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun ◡𝐹))
25	13, 23, 24	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝐹)
26	7, 25	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹))
27		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
28	27	ad4antlr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
29	26, 28, 22	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
30	29	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
31	30	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))))
32	4, 31	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))))
33	32	com13 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))))
34	33	ex 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))))))
35	34	com3r 85	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ((𝑃‘0) = 𝐴 → ((𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))))))
36	35	3imp 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))))
37	36	impcom 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
38	37	imp31 447	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
39		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
40	39	3adant3 1074	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
41	40	ad3antrrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
42		istrl 26067	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝐹) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
44	38, 43	mpbird 246	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
45		2mwlk 26049	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
46		simpl 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
48	47	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
49	48	ad3antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐸)
50	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (#‘𝐹) = 2)
51	49, 50	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2))
52		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝑉 USGrph 𝐸)
53	52	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝑉 USGrph 𝐸)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑉 USGrph 𝐸)
55		simpr 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
56	45, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
57	56	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
58	57	ad3antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
59	54, 58	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
60	51, 59	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)))
61		simp2 1055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
62	61	ad3antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑃‘0) = 𝐴)
63		simp3 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)
64	63	ad3antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)
65	18	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
66	62, 64, 65	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
67	4, 21	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
68	67	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
69	68	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵) → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
70	69	impcom 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
71	70	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})
72	66, 71	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
73		usgra2wlkspthlem2 26148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)) → ((((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐸‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) → Fun ◡𝑃))
74	60, 72, 73	sylc 63	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → Fun ◡𝑃)
75		isspth 26099	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
76	41, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
77	44, 74, 76	mpbir2and 959	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)
78		isspthon 26113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)))
79	78	ad3antrrr 762	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃 ↔ (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)))
80	2, 77, 79	mpbir2and 959	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) ∧ 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃)
81	80	exp31 628	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃)))
82	1, 81	mpcom 37	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃))
83	82	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃))
84		spthonprp 26115	. . 3 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃 → (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)))
85		simpl 472	. . . 4 ⊢ ((𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃) → 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃)
86	85	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 ∧ 𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃)) → 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃)
87	84, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃 → 𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃)
88	83, 87	impbid1 214	1 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ (#‘𝐹) = 2 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐹(𝐴(𝑉 WalkOn 𝐸)𝐵)𝑃 ↔ 𝐹(𝐴(𝑉 SPathOn 𝐸)𝐵)𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   USGrph cusg 25859   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   SPaths cspath 26029   WalkOn cwlkon 26030   SPathOn cspthon 26033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039  df-wlkon 26042  df-spthon 26045

This theorem is referenced by:  2pthwlkonot  26412