Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgn0fidegnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgn0fidegnn0 26556
 Description: In a nonempty, finite graph there is a vertex having a nonnegative integer as degree. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
usgn0fidegnn0 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑣   𝑛,𝑉,𝑣

Proof of Theorem usgn0fidegnn0
Dummy variables 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . . 4 (𝑉 ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 𝑘𝑉)
2 usgfidegfi 26437 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → ∀𝑢𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) ∈ ℕ0)
3 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑘 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘))
43eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑘 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) ∈ ℕ0))
54rspccv 3279 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) ∈ ℕ0 → (𝑘𝑉 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) ∈ ℕ0))
62, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) → (𝑘𝑉 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) ∈ ℕ0))
763impia 1253 . . . . . . . 8 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑘𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) ∈ ℕ0)
8 risset 3044 . . . . . . . . 9 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) ∈ ℕ0 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘))
9 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑘 → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘))
109eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = 𝑘 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) = 𝑛))
11 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) = 𝑛𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘))
1210, 11syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑘 → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘)))
1312rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑘 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘)))
1413rspcev 3282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑉 ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘)) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)
1514ex 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑉 → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛))
16153ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑘𝑉) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛))
1716com12 32 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑛 = ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛))
188, 17sylbi 206 . . . . . . . 8 (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑘) ∈ ℕ0 → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛))
197, 18mpcom 37 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑘𝑉) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)
20193exp 1256 . . . . . 6 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑘𝑉 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)))
2120com13 86 . . . . 5 (𝑘𝑉 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)))
2221exlimiv 1845 . . . 4 (∃𝑘 𝑘𝑉 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)))
231, 22sylbi 206 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 USGrph 𝐸 → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)))
2423com13 86 . 2 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)))
25243imp 1249 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑣) = 𝑛)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℕ0cn0 11169   USGrph cusg 25859   VDeg cvdg 26420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862  df-vdgr 26421 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  26648
 Copyright terms: Public domain W3C validator