Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usg2cwwkdifex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usg2cwwkdifex 26349
 Description: If a word represents a closed walk of length at least 2 in a undirected simple graph, the first two symbols of the word must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
usg2cwwkdifex ((𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem usg2cwwkdifex
StepHypRef Expression
1 1nn0 11185 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℕ0)
3 eluz2nn 11602 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 eluz2 11569 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
5 1red 9934 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
6 2re 10967 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
8 zre 11258 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
95, 7, 83jca 1235 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
11 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
12 1lt2 11071 . . . . . . . 8 1 < 2
1311, 12jctil 558 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁))
14 ltletr 10008 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁))
1510, 13, 14sylc 63 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
16153adant1 1072 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → 1 < 𝑁)
174, 16sylbi 206 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
18 elfzo0 12376 . . . 4 (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
192, 3, 17, 18syl3anbrc 1239 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ (0..^𝑁))
20193ad2ant2 1076 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
21 fveq2 6103 . . . 4 (𝑖 = 1 → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
2221adantl 481 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘1))
2322neeq1d 2841 . 2 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0)))
24 usg2cwwk2dif 26348 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (𝑊‘1) ≠ (𝑊‘0))
2520, 23, 24rspcedvd 3289 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) ≠ (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334   USGrph cusg 25859   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  usghashecclwwlk  26362
 Copyright terms: Public domain W3C validator