Theorem unsnen 9254

Description: Equinumerosity of a set with a new element added. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
unsnen.1	⊢ 𝐴 ∈ V
unsnen.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
unsnen	⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Proof of Theorem unsnen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn 4192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
2		cardon 8653	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
3	2	onordi 5749	. . . . 5 ⊢ Ord (card‘𝐴)
4		orddisj 5679	. . . . 5 ⊢ (Ord (card‘𝐴) → ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅
6		unsnen.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ V
7	6	cardid 9248	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ≈ 𝐴
8	7	ensymi 7892	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ≈ (card‘𝐴)
9		unsnen.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
10		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (card‘𝐴) ∈ V
11		en2sn 7922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (card‘𝐴) ∈ V) → {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)})
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}
13		unen 7925	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≈ (card‘𝐴) ∧ {𝐵} ≈ {(card‘𝐴)}) ∧ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅)) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
14	8, 12, 13	mpanl12 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ∧ ((card‘𝐴) ∩ {(card‘𝐴)}) = ∅) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
15	5, 14	mpan2 703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
16	1, 15	sylbir 224	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)}))
17		df-suc 5646	. 2 ⊢ suc (card‘𝐴) = ((card‘𝐴) ∪ {(card‘𝐴)})
18	16, 17	syl6breqr 4625	1 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ≈ suc (card‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  Ord word 5639  suc csuc 5642  ‘cfv 5804   ≈ cen 7838  cardccrd 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-ac2 9168

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-card 8648  df-ac 8822

This theorem is referenced by: (None)