Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unbnn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbnn2 8102
 Description: Version of unbnn 8101 that does not require a strict upper bound. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
unbnn2 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ≈ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem unbnn2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 6978 . . . 4 (𝑧 ∈ ω → suc 𝑧 ∈ ω)
2 sseq1 3589 . . . . . . 7 (𝑥 = suc 𝑧 → (𝑥𝑦 ↔ suc 𝑧𝑦))
32rexbidv 3034 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑧 → (∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 suc 𝑧𝑦))
43rspcv 3278 . . . . 5 (suc 𝑧 ∈ ω → (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∃𝑦𝐴 suc 𝑧𝑦))
5 vex 3176 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
6 sucssel 5736 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ V → (suc 𝑧𝑦𝑧𝑦))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (suc 𝑧𝑦𝑧𝑦)
87reximi 2994 . . . . 5 (∃𝑦𝐴 suc 𝑧𝑦 → ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)
94, 8syl6com 36 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (suc 𝑧 ∈ ω → ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
101, 9syl5 33 . . 3 (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → (𝑧 ∈ ω → ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦))
1110ralrimiv 2948 . 2 (∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦 → ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦)
12 unbnn 8101 . 2 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑧 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑧𝑦) → 𝐴 ≈ ω)
1311, 12syl3an3 1353 1 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ⊆ ω ∧ ∀𝑥 ∈ ω ∃𝑦𝐴 𝑥𝑦) → 𝐴 ≈ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  suc csuc 5642  ωcom 6957   ≈ cen 7838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-en 7842  df-dom 7843 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator