Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv1 31669
 Description: If the difference quotient (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴)) / (𝑧 − 𝐴)) is unbounded near 𝐴 then 𝐹 is not differentiable at 𝐴. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv1.g 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
unbdqndv1.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
unbdqndv1.2 (𝜑𝑋𝑆)
unbdqndv1.3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
unbdqndv1.4 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐴   𝐹,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝐹   𝐺,𝑏,𝑑,𝑥   𝑆,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑆   𝑋,𝑏,𝑑,𝑥   𝑧,𝑋   𝜑,𝑏,𝑑,𝑥   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑧)

Proof of Theorem unbdqndv1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3878 . . . . . . . 8 ¬ 𝑦 ∈ ∅
21a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ ∅)
3 unbdqndv1.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
4 unbdqndv1.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
53, 4sstrd 3578 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
76ssdifssd 3710 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝑋 ∖ {𝐴}) ⊆ ℂ)
8 unbdqndv1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
98adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
104, 8, 3dvbss 23471 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
1110sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴𝑋)
129, 6, 11dvlem 23466 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})) → (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)) ∈ ℂ)
13 unbdqndv1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) / (𝑧𝐴)))
1412, 13fmptd 6292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐺:(𝑋 ∖ {𝐴})⟶ℂ)
156, 11sseldd 3569 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 unbdqndv1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
1716adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑏 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑋 ∖ {𝐴})((abs‘(𝑥𝐴)) < 𝑑𝑏 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
187, 14, 15, 17unblimceq0 31668 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐺 lim 𝐴) = ∅)
192, 18neleqtrrd 2710 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))
2019intnand 953 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴)))
21 eqid 2610 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
22 eqid 2610 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2321, 22, 13, 4, 8, 3eldv 23468 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2423notbid 307 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2524adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ (𝐴 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 lim 𝐴))))
2620, 25mpbird 246 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
2726alrimiv 1842 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
28 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
29 eldmg 5241 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3130notbid 307 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
32 alnex 1697 . . . . . 6 (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦)
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3433bicomd 212 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ ∃𝑦 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3531, 34bitrd 267 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → (¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ ∀𝑦 ¬ 𝐴(𝑆 D 𝐹)𝑦))
3627, 35mpbird 246 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹)) → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
3736pm2.01da 457 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  abscabs 13822   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567  intcnt 20631   limℂ climc 23432   D cdv 23433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-ntr 20634  df-cnp 20842  df-xms 21935  df-ms 21936  df-limc 23436  df-dv 23437 This theorem is referenced by:  unbdqndv2  31672
 Copyright terms: Public domain W3C validator