Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  un0mulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem un0mulcl 11204
 Description: If 𝑆 is closed under multiplication, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0mulcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0mulcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2680 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 3715 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 263 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2680 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 3715 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 263 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 3738 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 3601 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 3566 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 641 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514mul02d 10113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) = 0)
16 ssun2 3739 . . . . . . . . . . 11 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
1716, 1sseqtr4i 3601 . . . . . . . . . 10 {0} ⊆ 𝑇
18 c0ex 9913 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
1918snss 4259 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ 𝑇 ↔ {0} ⊆ 𝑇)
2017, 19mpbir 220 . . . . . . . . 9 0 ∈ 𝑇
2115, 20syl6eqel 2696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 · 𝑁) ∈ 𝑇)
22 elsni 4142 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2322oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (0 · 𝑁))
2423eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2521, 24syl5ibrcom 236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2625impancom 455 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
2712, 26jaodan 822 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
287, 27sylan2b 491 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
29 0cnd 9912 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
3029snssd 4281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
3113, 30unssd 3751 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
321, 31syl5eqss 3612 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3332sselda 3568 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3433mul01d 10114 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) = 0)
3534, 20syl6eqel 2696 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 · 0) ∈ 𝑇)
36 elsni 4142 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3736oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) = (𝑀 · 0))
3837eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 · 0) ∈ 𝑇))
3935, 38syl5ibrcom 236 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4028, 39jaod 394 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
414, 40syl5bi 231 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇))
4241impr 647 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958 This theorem is referenced by:  nn0mulcl  11206  plymullem  23776
 Copyright terms: Public domain W3C validator