Theorem umgr3cyclex 41350

Description: If there are three (different) vertices in a multigraph which are mutually connected by edges, there is a 3-cycle in the graph containing one of these vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Nov-2017.) (Revised by AV, 12-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgr3cyclex.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgr3cyclex.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr3cyclex	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(CycleS‘𝐺)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐵,𝑓,𝑝   𝐶,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem umgr3cyclex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgruhgr 25770	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
2	1	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∈ UHGraph )
3		simp2 1055	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		uhgr3cyclex.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
5	4	umgredgne 25816	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ≠ 𝐵)
6	5	3ad2antr1 1219	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
7		prcom 4211	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐶, 𝐴} = {𝐴, 𝐶}
8	7	eleq1i 2679	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸)
9	8	biimpi 205	. . . . . 6 ⊢ ({𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸)
10	9	3ad2ant3 1077	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) → {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸)
11	4	umgredgne 25816	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐴 ≠ 𝐶)
12	10, 11	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
13		simp2 1055	. . . . 5 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸) → {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)
14	4	umgredgne 25816	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐵 ≠ 𝐶)
15	13, 14	sylan2 490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
16	6, 12, 15	3jca 1235	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
17	16	3adant2 1073	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
18		simp3 1056	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸))
19		uhgr3cyclex.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
20	19, 4	uhgr3cyclex 41349	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(CycleS‘𝐺)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴))
21	2, 3, 17, 18, 20	syl121anc 1323	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸 ∧ {𝐶, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(CycleS‘𝐺)𝑝 ∧ (#‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  3c3 10948  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   UHGraph cuhgr 25722   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792  CycleSccycls 40991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-pths 40923  df-cycls 40993

This theorem is referenced by:  umgr3v3e3cycl  41351  3cyclfrgr  41458