Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgr2adedgspth Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: In a multigraph, two adjacent edges with different endvertices form a simple path of length 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Feb-2018.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
umgr2adedgwlk.a (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
umgr2adedgwlk.j (𝜑 → (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵})
umgr2adedgwlk.k (𝜑 → (𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶})
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 umgr2adedgwlk.p . 2 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 umgr2adedgwlk.f . 2 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 umgr2adedgwlk.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ UMGraph )
4 umgr2adedgwlk.a . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
5 3anass 1035 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐺 ∈ UMGraph ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
63, 4, 5sylanbrc 695 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))
7 umgr2adedgwlk.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
87umgr2adedgwlklem 41151 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
96, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
109simprd 478 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
119simpld 474 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
12 ssid 3587 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ {𝐴, 𝐵}
13 umgr2adedgwlk.j . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵})
1412, 13syl5sseqr 3617 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽))
15 ssid 3587 . . . 4 {𝐵, 𝐶} ⊆ {𝐵, 𝐶}
16 umgr2adedgwlk.k . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶})
1715, 16syl5sseqr 3617 . . 3 (𝜑 → {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾))
1814, 17jca 553 . 2 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
19 eqid 2610 . 2 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
20 umgr2adedgwlk.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝐾 = 𝐽 → (𝐼𝐾) = (𝐼𝐽))
2221eqcoms 2618 . . . . . . . 8 (𝐽 = 𝐾 → (𝐼𝐾) = (𝐼𝐽))
2322eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶}))
24 eqtr2 2630 . . . . . . . 8 (((𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶} ∧ (𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵}) → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
2524ex 449 . . . . . . 7 ((𝐼𝐽) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
2623, 25syl6bi 242 . . . . . 6 (𝐽 = 𝐾 → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} → ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
2726com13 86 . . . . 5 ((𝐼𝐽) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐼𝐾) = {𝐵, 𝐶} → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})))
2813, 16, 27sylc 63 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 = 𝐾 → {𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵}))
29 eqcom 2617 . . . . . 6 ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶})
30 prcom 4211 . . . . . . 7 {𝐵, 𝐶} = {𝐶, 𝐵}
3130eqeq2i 2622 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐶} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
3229, 31bitri 263 . . . . 5 ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵})
3319, 7umgrpredgav 25813 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3433simpld 474 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
3534ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3619, 7umgrpredgav 25813 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3736simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))
3837ex 449 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UMGraph → ({𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
3935, 38anim12d 584 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺))))
403, 4, 39sylc 63 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)))
41 preqr1g 4325 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐴 = 𝐶))
43 umgr2adedgspth.n . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
44 eqneqall 2793 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐶 → (𝐴𝐶𝐽𝐾))
4542, 43, 44syl6ci 69 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐶, 𝐵} → 𝐽𝐾))
4632, 45syl5bi 231 . . . 4 (𝜑 → ({𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → 𝐽𝐾))
4728, 46syld 46 . . 3 (𝜑 → (𝐽 = 𝐾𝐽𝐾))
48 neqne 2790 . . 3 𝐽 = 𝐾𝐽𝐾)
4947, 48pm2.61d1 170 . 2 (𝜑𝐽𝐾)
501, 2, 10, 11, 18, 19, 20, 49, 432spthd 41148 1 (𝜑𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ⟨“cs2 13437  ⟨“cs3 13438  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792  SPathScspths 40920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-spths 40924 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator