MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmcl 23939
Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ulmcl (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)

Proof of Theorem ulmcl
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑛 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmscl 23937 . . . 4 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝑆 ∈ V)
2 ulmval 23938 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥)))
43ibi 255 . 2 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺 → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥))
5 simp2 1055 . . 3 ((𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
65rexlimivw 3011 . 2 (∃𝑛 ∈ ℤ (𝐹:(ℤ𝑛)⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝐺:𝑆⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ (ℤ𝑛)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 𝑥) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
74, 6syl 17 1 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  w3a 1031  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  cc 9813   < clt 9953  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  abscabs 13822  𝑢culm 23934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-pm 7747  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-ulm 23935
This theorem is referenced by:  ulmi  23944  ulmclm  23945  ulmres  23946  ulmshftlem  23947  ulmuni  23950  ulmcau  23953  ulmss  23955  ulmbdd  23956  ulmcn  23957  ulmdvlem1  23958  ulmdvlem3  23960  ulmdv  23961  mbfulm  23964  iblulm  23965  itgulm  23966  itgulm2  23967  pserulm  23980  lgamgulmlem6  24560  lgamgulm2  24562  knoppcnlem9  31661
  Copyright terms: Public domain W3C validator