Theorem uhgrspan1lem2 40525

Description: Lemma 2 for uhgrspan1 40527. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
uhgrspan1.s	⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem2	⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

Proof of Theorem uhgrspan1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩
2	1	fveq2i 6106	. 2 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩)
3		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5		uhgrspan1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}
6	3, 4, 5	uhgrspan1lem1 40524	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)
7		opvtxfv 25681	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V) → (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁}))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Vtx‘⟨(𝑉 ∖ {𝑁}), (𝐼 ↾ 𝐹)⟩) = (𝑉 ∖ {𝑁})
9	2, 8	eqtri 2632	1 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (𝑉 ∖ {𝑁})

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ⟨cop 4131  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-1st 7059  df-vtx 25675

This theorem is referenced by:  uhgrspan1  40527