Theorem uhgrspan1lem1 40524

Description: Lemma 1 for uhgrspan1 40527. (Contributed by AV, 19-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uhgrspan1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uhgrspan1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
uhgrspan1.f	⊢ 𝐹 = {𝑖 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑁 ∉ (𝐼‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
uhgrspan1lem1	⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Proof of Theorem uhgrspan1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uhgrspan1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		difexg 4735	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
6		uhgrspan1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
8	6, 7	eqeltri 2684	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ V
9	8	resex 5363	. 2 ⊢ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V
10	5, 9	pm3.2i 470	1 ⊢ ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V ∧ (𝐼 ↾ 𝐹) ∈ V)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-sn 4126  df-pr 4128  df-uni 4373  df-res 5050  df-iota 5768  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  uhgrspan1lem2  40525  uhgrspan1lem3  40526