Theorem ttglem 25556

Description: Lemma for ttgbas 25557 and ttgvsca 25560. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
ttglem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ttglem.4	⊢ 𝑁 < ;16

Assertion

Ref	Expression
ttglem	⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Proof of Theorem ttglem

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttgval.n	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
3		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐻) = (-g‘𝐻)
4		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘𝐻)
5		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	ttgval 25555	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩) ∧ (Itv‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})))
7	6	simpld 474	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ V → 𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
8	7	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩)))
9		ttglem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
10		ttglem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
11	9, 10	ndxid 15716	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
12	10	nnrei 10906	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℝ
13		ttglem.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;16
14	12, 13	ltneii 10029	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;16
15	9, 10	ndxarg 15715	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
16		itvndx 25139	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘ndx) = ;16
17	15, 16	neeq12i 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;16)
18	14, 17	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Itv‘ndx)
19	11, 18	setsnid 15743	. . . 4 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩))
20		1nn0 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21		6nn0 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ0
22		7nn 11067	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
23		6lt7 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
24	20, 21, 22, 23	declt 11406	. . . . . . . 8 ⊢ ;16 < ;17
25		6nn 11066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℕ
26	20, 25	decnncl 11394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;16 ∈ ℕ
27	26	nnrei 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ ;16 ∈ ℝ
28	20, 22	decnncl 11394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ
29	28	nnrei 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ ;17 ∈ ℝ
30	12, 27, 29	lttri 10042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 < ;16 ∧ ;16 < ;17) → 𝑁 < ;17)
31	13, 24, 30	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 < ;17
32	12, 31	ltneii 10029	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ≠ ;17
33		lngndx 25140	. . . . . . 7 ⊢ (LineG‘ndx) = ;17
34	15, 33	neeq12i 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ ;17)
35	32, 34	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (LineG‘ndx)
36	11, 35	setsnid 15743	. . . 4 ⊢ (𝐸‘(𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩)) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
37	19, 36	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧(-g‘𝐻)𝑥) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐻)(𝑦(-g‘𝐻)𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝐻), 𝑦 ∈ (Base‘𝐻) ↦ {𝑧 ∈ (Base‘𝐻) ∣ (𝑧 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧(Itv‘𝐺)𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥(Itv‘𝐺)𝑧))})⟩))
38	8, 37	syl6reqr 2663	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
39	9	str0 15739	. . 3 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
40		fvprc 6097	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = ∅)
41		fvprc 6097	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (toTG‘𝐻) = ∅)
42	1, 41	syl5eq 2656	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → 𝐺 = ∅)
43	42	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐺) = (𝐸‘∅))
44	39, 40, 43	3eqtr4a 2670	. 2 ⊢ (¬ 𝐻 ∈ V → (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺))
45	38, 44	pm2.61i 175	1 ⊢ (𝐸‘𝐻) = (𝐸‘𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  6c6 10951  7c7 10952  ;cdc 11369  [,]cicc 12049  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Slot cslot 15694  Basecbs 15695   ·_𝑠 cvsca 15772  -_gcsg 17247  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  toTGcttg 25553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-itv 25137  df-lng 25138  df-ttg 25554

This theorem is referenced by:  ttgbas  25557  ttgplusg  25558  ttgvsca  25560  ttgds  25561