Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgitvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgitvval 25562
 Description: Betweenness for a complex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
Assertion
Ref Expression
ttgitvval ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,   𝑧, ·   𝑘,𝐻,𝑧   𝑃,𝑘,𝑧   𝑘,𝑉,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   · (𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)   𝐼(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem ttgitvval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgval.n . . . . 5 𝐺 = (toTG‘𝐻)
2 ttgitvval.b . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐻)
3 ttgitvval.m . . . . 5 = (-g𝐻)
4 ttgitvval.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐻)
5 ttgitvval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5ttgval 25555 . . . 4 (𝐻𝑉 → (𝐺 = ((𝐻 sSet ⟨(Itv‘ndx), (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))})⟩) sSet ⟨(LineG‘ndx), (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))})⟩) ∧ 𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))})))
76simprd 478 . . 3 (𝐻𝑉𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))}))
873ad2ant1 1075 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝐼 = (𝑥𝑃, 𝑦𝑃 ↦ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))}))
9 simprl 790 . . . . . 6 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑥 = 𝑋)
109oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑧 𝑥) = (𝑧 𝑋))
11 simprr 792 . . . . . . 7 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → 𝑦 = 𝑌)
1211, 9oveq12d 6567 . . . . . 6 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑦 𝑥) = (𝑌 𝑋))
1312oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (𝑘 · (𝑦 𝑥)) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))
1410, 13eqeq12d 2625 . . . 4 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → ((𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥)) ↔ (𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1514rexbidv 3034 . . 3 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1615rabbidv 3164 . 2 (((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) ∧ (𝑥 = 𝑋𝑦 = 𝑌)) → {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑥) = (𝑘 · (𝑦 𝑥))} = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
17 simp2 1055 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑋𝑃)
18 simp3 1056 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → 𝑌𝑃)
19 fvex 6113 . . . . 5 (Base‘𝐻) ∈ V
202, 19eqeltri 2684 . . . 4 𝑃 ∈ V
2120rabex 4740 . . 3 {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))} ∈ V
2221a1i 11 . 2 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))} ∈ V)
238, 16, 17, 18, 22ovmpt2d 6686 1 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695   ·𝑠 cvsca 15772  -gcsg 17247  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  toTGcttg 25553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-itv 25137  df-lng 25138  df-ttg 25554 This theorem is referenced by:  ttgelitv  25563
 Copyright terms: Public domain W3C validator