Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgelitv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgelitv 25563
 Description: Betweenness for a complex Hilbert space augmented with betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
ttgelitv.x (𝜑𝑋𝑃)
ttgelitv.y (𝜑𝑌𝑃)
ttgelitv.h (𝜑𝐻𝑉)
ttgelitv.z (𝜑𝑍𝑃)
Assertion
Ref Expression
ttgelitv (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
Distinct variable groups:   ,𝑘   𝑘,𝐻   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   · (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem ttgelitv
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ttgelitv.h . . . . 5 (𝜑𝐻𝑉)
2 ttgelitv.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑃)
3 ttgelitv.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
4 ttgval.n . . . . . 6 𝐺 = (toTG‘𝐻)
5 ttgitvval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 ttgitvval.b . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐻)
7 ttgitvval.m . . . . . 6 = (-g𝐻)
8 ttgitvval.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐻)
94, 5, 6, 7, 8ttgitvval 25562 . . . . 5 ((𝐻𝑉𝑋𝑃𝑌𝑃) → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
101, 2, 3, 9syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐼𝑌) = {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))})
1110eleq2d 2673 . . 3 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))}))
12 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 𝑋) = (𝑍 𝑋))
1312eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)) ↔ (𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1413rexbidv 3034 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1514elrab 3331 . . 3 (𝑍 ∈ {𝑧𝑃 ∣ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑧 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))} ↔ (𝑍𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
1611, 15syl6bb 275 . 2 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝑍𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))))
17 ttgelitv.z . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
1817biantrurd 528 . 2 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)) ↔ (𝑍𝑃 ∧ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))))
1916, 18bitr4d 270 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝑍 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {crab 2900  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  [,]cicc 12049  Basecbs 15695   ·𝑠 cvsca 15772  -gcsg 17247  Itvcitv 25135  toTGcttg 25553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-sets 15701  df-itv 25137  df-lng 25138  df-ttg 25554 This theorem is referenced by:  ttgbtwnid  25564  ttgcontlem1  25565
 Copyright terms: Public domain W3C validator