Theorem tsk2 9466

Description: Two is an element of a nonempty Tarski class. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
tsk2	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2𝑜 ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tsk2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsk1 9465	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 1𝑜 ∈ 𝑇)
2		df-2o 7448	. . 3 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
3		1on 7454	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
4		tsksuc 9463	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1𝑜 ∈ On ∧ 1𝑜 ∈ 𝑇) → suc 1𝑜 ∈ 𝑇)
5	3, 4	mp3an2 1404	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1𝑜 ∈ 𝑇) → suc 1𝑜 ∈ 𝑇)
6	2, 5	syl5eqel 2692	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 1𝑜 ∈ 𝑇) → 2𝑜 ∈ 𝑇)
7	1, 6	syldan 486	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 2𝑜 ∈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  Oncon0 5640  suc csuc 5642  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441  Tarskictsk 9449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-1o 7447  df-2o 7448  df-tsk 9450

This theorem is referenced by:  2domtsk  9467