Theorem trpredss 30973

Description: The transitive predecessors form a subset of the base class. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trpredss	⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem trpredss

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftrpred2 30963	. 2 ⊢ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2		trpredlem1 30971	. . . 4 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
3	2	ralrimivw 2950	. . 3 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
4		iunss 4497	. . 3 ⊢ (∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
5	3, 4	sylibr 223	. 2 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦)), Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) ⊆ 𝐴)
6	1, 5	syl5eqss 3612	1 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ 𝐵 → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  Predcpred 5596  ‘cfv 5804  ωcom 6957  reccrdg 7392  TrPredctrpred 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-trpred 30962

This theorem is referenced by:  trpredelss  30976  dftrpred3g  30977  frmin  30983