Theorem trpredelss 30976

Description: Given a transitive predecessor 𝑌 of 𝑋, the transitive predecessors of 𝑌 are a subset of the transitive predecessors of 𝑋. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredelss	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem trpredelss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setlikespec 5618	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
2		trpredss 30973	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ 𝐴)
4	3	sselda 3568	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐴)
5		simplr 788	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → 𝑅 Se 𝐴)
6		trpredtr 30974	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
7	6	ralrimiv 2948	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → ∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
9		trpredtr 30974	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
10	9	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
11		trpredmintr 30975	. . 3 ⊢ (((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
12	4, 5, 8, 10, 11	syl22anc 1319	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
13	12	ex 449	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑌 ∈ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540   Se wse 4995  Predcpred 5596  TrPredctrpred 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-trpred 30962

This theorem is referenced by:  dftrpred3g  30977