Theorem trpred0 30980

Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
trpred0	⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0

Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftrpred2 30963	. 2 ⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2		pred0 5627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
4	3	iuneq2i 4475	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 ∅
5		iun0 4512	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 ∅ = ∅
6	4, 5	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
7	6	mpteq2i 4669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8		pred0 5627	. . . . . . 7 ⊢ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9		rdgeq12 7396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
10	7, 8, 9	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
11	10	reseq1i 5313	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
12	11	fveq1i 6104	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13		nn0suc 6982	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15		0ex 4718	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
16		fr0g 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
18	14, 17	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎∅
20		nfcv 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑎𝑗
21		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22		eqidd 2611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
23	19, 20, 19, 21, 22	frsucmpt 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
24	15, 23	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗))
26	25	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
27	24, 26	syl5ibrcom 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
28	27	rexlimiv 3009	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
29	18, 28	jaoi 393	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
30	13, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
31	12, 30	syl5eq 2656	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
32	31	iuneq2i 4475	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑦 ∈ 𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ω ∅
33		iun0 4512	. 2 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
34	1, 32, 33	3eqtri 2636	1 ⊢ TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Syntax hints:   ∨ wo 382   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  Predcpred 5596  suc csuc 5642  ‘cfv 5804  ωcom 6957  reccrdg 7392  TrPredctrpred 30961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-trpred 30962

This theorem is referenced by: (None)