Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlid0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlid0b 34483
Description: A lattice translation is the identity iff its trace is zero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlid0b.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0b.z 0 = (0.‘𝐾)
trlid0b.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0b.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlid0b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlid0b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlid0b
StepHypRef Expression
1 trlid0b.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 trlid0b.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlid0b.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 trlid0b.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5trlnidatb 34482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)))
7 trlid0b.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
87, 2, 3, 4, 5trlatn0 34477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
96, 8bitrd 267 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
109necon4bid 2827 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   I cid 4948  cres 5040  cfv 5804  Basecbs 15695  0.cp0 16860  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464
This theorem is referenced by:  trlnid  34484  trlcoat  35029  trlcone  35034  trljco  35046  tendoid  35079  tendoex  35281  dia0  35359
  Copyright terms: Public domain W3C validator