Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tpr2tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tpr2tp 29278
Description: The usual topology on (ℝ × ℝ) is the product topology of the usual topology on . (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
tpr2tp.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
tpr2tp (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))

Proof of Theorem tpr2tp
StepHypRef Expression
1 tpr2tp.0 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 retopon 22377 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
31, 2eqeltri 2684 . 2 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4 txtopon 21204 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ)))
53, 3, 4mp2an 704 1 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ (TopOn‘(ℝ × ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977   × cxp 5036  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  cr 9814  (,)cioo 12046  topGenctg 15921  TopOnctopon 20518   ×t ctx 21173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-tx 21175
This theorem is referenced by:  tpr2uni  29279  sxbrsigalem4  29676  sxbrsiga  29679
  Copyright terms: Public domain W3C validator