Theorem tppreqb 4277

Description: An unordered triple is an unordered pair if and only if one of its elements is a proper class or is identical with one of the another elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
tppreqb	⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem tppreqb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ianor 1048	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
2		df-3or 1032	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
3	1, 2	bitri 263	. . 3 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
4		orass 545	. . . . 5 ⊢ ((((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) ↔ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V)))
5		ianor 508	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴))
6		tpprceq3 4276	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
7	5, 6	sylbir 224	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐴})
8		tpcoma 4229	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐴, 𝐶} = {𝐴, 𝐵, 𝐶}
9		prcom 4211	. . . . . . 7 ⊢ {𝐵, 𝐴} = {𝐴, 𝐵}
10	7, 8, 9	3eqtr3g 2667	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
11		orcom 401	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
12		ianor 508	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
13	11, 12	bitr4i 266	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) ↔ ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
14		tpprceq3 4276	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
15	13, 14	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
16	10, 15	jaoi 393	. . . . 5 ⊢ (((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ∨ ¬ 𝐶 ∈ V)) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
17	4, 16	sylbi 206	. . . 4 ⊢ ((((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) ∨ ¬ 𝐶 ∈ V) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
18	17	orcs 408	. . 3 ⊢ (((¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴) ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
19	3, 18	sylbi 206	. 2 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})
20		df-tp 4130	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
21	20	eqeq1i 2615	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
22		ssequn2 3748	. . . 4 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵})
23		snssg 4268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ V → (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵}))
24		elpri 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵))
25		nne 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ↔ 𝐶 = 𝐴)
26		3mix2 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐴 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
27	25, 26	sylbir 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 𝐴 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
28		nne 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 ↔ 𝐶 = 𝐵)
29		3mix3 1225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝐶 ≠ 𝐵 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
30	28, 29	sylbir 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = 𝐵 → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
31	27, 30	jaoi 393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 𝐴 ∨ 𝐶 = 𝐵) → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
32	24, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
33	23, 32	syl6bir 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ V → ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵)))
34		3mix1 1223	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
35	34	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ V → ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵)))
36	33, 35	pm2.61i 175	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → (¬ 𝐶 ∈ V ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐴 ∨ ¬ 𝐶 ≠ 𝐵))
37	36, 1	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ({𝐶} ⊆ {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
38	22, 37	sylbir 224	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) = {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
39	21, 38	sylbi 206	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵} → ¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵))
40	19, 39	impbii 198	1 ⊢ (¬ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐶 ≠ 𝐴 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵) ↔ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = {𝐴, 𝐵})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  {ctp 4129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130

This theorem is referenced by: (None)