Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngnrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngnrg 22288
 Description: Given any absolute value over a ring, augmenting the ring with the absolute value produces a normed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngnrg.t 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
tngnrg.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
tngnrg (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem tngnrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tngnrg.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
21abvrcl 18644 . . . 4 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Ring)
3 ringgrp 18375 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐹𝐴𝑅 ∈ Grp)
5 tngnrg.t . . . . 5 𝑇 = (𝑅 toNrmGrp 𝐹)
6 eqid 2610 . . . . 5 (-g𝑅) = (-g𝑅)
75, 6tngds 22262 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹 ∘ (-g𝑅)) = (dist‘𝑇))
8 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 1, 6abvmet 22190 . . . 4 (𝐹𝐴 → (𝐹 ∘ (-g𝑅)) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
107, 9eqeltrrd 2689 . . 3 (𝐹𝐴 → (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
111, 8abvf 18646 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ)
12 eqid 2610 . . . . 5 (dist‘𝑇) = (dist‘𝑇)
135, 8, 12tngngp2 22266 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
1411, 13syl 17 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝑇 ∈ NrmGrp ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ (dist‘𝑇) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))))
154, 10, 14mpbir2and 959 . 2 (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmGrp)
16 reex 9906 . . . . . 6 ℝ ∈ V
175, 8, 16tngnm 22265 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹:(Base‘𝑅)⟶ℝ) → 𝐹 = (norm‘𝑇))
184, 11, 17syl2anc 691 . . . 4 (𝐹𝐴𝐹 = (norm‘𝑇))
19 eqidd 2611 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
205, 8tngbas 22255 . . . . . 6 (𝐹𝐴 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑇))
21 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
225, 21tngplusg 22256 . . . . . . 7 (𝐹𝐴 → (+g𝑅) = (+g𝑇))
2322oveqdr 6573 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) = (𝑥(+g𝑇)𝑦))
24 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
255, 24tngmulr 22258 . . . . . . 7 (𝐹𝐴 → (.r𝑅) = (.r𝑇))
2625oveqdr 6573 . . . . . 6 ((𝐹𝐴 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑇)𝑦))
2719, 20, 23, 26abvpropd 18665 . . . . 5 (𝐹𝐴 → (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑇))
281, 27syl5eq 2656 . . . 4 (𝐹𝐴𝐴 = (AbsVal‘𝑇))
2918, 28eleq12d 2682 . . 3 (𝐹𝐴 → (𝐹𝐴 ↔ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
3029ibi 255 . 2 (𝐹𝐴 → (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇))
31 eqid 2610 . . 3 (norm‘𝑇) = (norm‘𝑇)
32 eqid 2610 . . 3 (AbsVal‘𝑇) = (AbsVal‘𝑇)
3331, 32isnrg 22274 . 2 (𝑇 ∈ NrmRing ↔ (𝑇 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑇) ∈ (AbsVal‘𝑇)))
3415, 30, 33sylanbrc 695 1 (𝐹𝐴𝑇 ∈ NrmRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  distcds 15777  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  Ringcrg 18370  AbsValcabv 18639  Metcme 19553  normcnm 22191  NrmGrpcngp 22192   toNrmGrp ctng 22193  NrmRingcnrg 22194 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-topgen 15927  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-abv 18640  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-tng 22199  df-nrg 22200 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator