Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsms 22102
 Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tmsbas.k 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tmsms (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Proof of Theorem tmsms
StepHypRef Expression
1 metxmet 21949 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 tmsbas.k . . . 4 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
32tmsxms 22101 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
41, 3syl 17 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
52tmsds 22099 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
72tmsbas 22098 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
81, 7syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
98fveq2d 6107 . . . . 5 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
106, 9eleq12d 2682 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
1110ibi 255 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
12 ssid 3587 . . 3 (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
13 metres2 21978 . . 3 (((dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
1411, 12, 13sylancl 693 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
15 eqid 2610 . . 3 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17 eqid 2610 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1815, 16, 17isms 22064 . 2 (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
194, 14, 18sylanbrc 695 1 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  distcds 15777  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ∞MetSpcxme 21932  MetSpcmt 21933  toMetSpctmt 21934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-tset 15787  df-ds 15791  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator