MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgtopon 20586
Description: A basis generates a topology on 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 20584 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 unitg 20582 . . 3 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
32eqcomd 2616 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 = (topGen‘𝐵))
4 istopon 20540 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝐵 = (topGen‘𝐵)))
51, 3, 4sylanbrc 695 1 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977   cuni 4372  cfv 5804  topGenctg 15921  Topctop 20517  TopOnctopon 20518  TopBasesctb 20520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523
This theorem is referenced by:  ordttopon  20807  tgqtop  21325  alexsublem  21658  alexsub  21659  mopntopon  22054  topjoin  31530  istoprelowl  32384
  Copyright terms: Public domain W3C validator