Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglowdim2l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglowdim2l 25345
 Description: Reformulation of the lower dimension axiom for dimension 2. There exist three non colinear points. Theorem 6.24 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglowdim2l.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
tglowdim2l (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐺   𝐼,𝑎,𝑏,𝑐   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem tglowdim2l
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . 3 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3 tglineintmo.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tglowdim2l.1 . . 3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
61, 2, 3, 4, 5axtglowdim2 25169 . 2 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐)))
7 tglineintmo.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
84ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑎𝑃)
10 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑏𝑃)
11 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → 𝑐𝑃)
121, 7, 3, 8, 9, 10, 11tgcolg 25249 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
1312notbid 307 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑐𝑃) → (¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
1413rexbidva 3031 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑃) ∧ 𝑏𝑃) → (∃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
1514rexbidva 3031 . . 3 ((𝜑𝑎𝑃) → (∃𝑏𝑃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∃𝑏𝑃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
1615rexbidva 3031 . 2 (𝜑 → (∃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ∨ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑎𝐼𝑐))))
176, 16mpbird 246 1 (𝜑 → ∃𝑎𝑃𝑏𝑃𝑐𝑃 ¬ (𝑐 ∈ (𝑎𝐿𝑏) ∨ 𝑎 = 𝑏))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-trkgc 25147  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152 This theorem is referenced by:  tglowdim2ln  25346
 Copyright terms: Public domain W3C validator