Theorem tglineintmo 25337

Description: Two distinct lines intersect in at most one point. Theorem 6.21 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineintmo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglineintmo.c	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglineintmo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem tglineintmo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglineintmo.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		elssuni 4403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ran 𝐿 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ∪ ran 𝐿)
9	1, 3, 2	tglnunirn 25243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐿 ⊆ 𝑃)
11	8, 10	sstrd 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑃)
12	11	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ⊆ 𝑃)
13		simplrl 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
14	13	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	12, 14	sseldd 3569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑃)
16		simplrr 797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
17	16	simpld 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐴)
18	12, 17	sseldd 3569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑃)
19		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ≠ 𝑦)
20	6	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
21	1, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 20, 14, 17	tglinethru 25331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
22		tglineintmo.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
23	22	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
24	13	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
25	16	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
26	1, 2, 3, 5, 15, 18, 19, 19, 23, 24, 25	tglinethru 25331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
27	21, 26	eqtr4d 2647	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 = 𝐵)
28		tglineintmo.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
29	28	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	29	neneqd 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
31	27, 30	pm2.65da 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → ¬ 𝑥 ≠ 𝑦)
32		nne 2786	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦)
33	31, 32	sylib 207	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))) → 𝑥 = 𝑦)
34	33	ex 449	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
35	34	alrimivv 1843	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
36		eleq1 2676	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
37		eleq1 2676	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
38	36, 37	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
39	38	mo4 2505	. 2 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
40	35, 39	sylibr 223	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃*wmo 2459   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206

This theorem is referenced by:  tglineineq  25338  tglineinteq  25340