Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglineeltr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglineeltr 25326
 Description: Transitivity law for lines, one half of tglineelsb2 25327. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
tglineelsb2.3 (𝜑𝑆𝐵)
tglineelsb2.5 (𝜑𝑆𝑃)
tglineelsb2.6 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
tglineeltr.7 (𝜑𝑅𝐵)
tglineeltr.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
Assertion
Ref Expression
tglineeltr (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))

Proof of Theorem tglineeltr
StepHypRef Expression
1 tglineeltr.7 . . . 4 (𝜑𝑅𝐵)
2 tglineelsb2.p . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 tglineelsb2.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglineelsb2.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝐵)
87ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
9 tglineelsb2.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝐵)
109ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
11 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
12 eqid 2610 . . . . . . . 8 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
13 tglineelsb2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆𝐵)
1413ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
15 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
16 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
172, 12, 4, 6, 8, 11, 14, 10, 15, 16tgbtwnexch 25193 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
182, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 17btwncolg1 25250 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
195ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
207ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
219ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
22 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
2313ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
24 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
252, 12, 4, 19, 20, 22, 23, 24tgbtwncom 25183 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅 ∈ (𝑆𝐼𝑃))
26 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
272, 12, 4, 19, 23, 22, 20, 21, 25, 26tgbtwnexch3 25189 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
282, 3, 4, 19, 20, 21, 22, 27btwncolg2 25251 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
295ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
307ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
31 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
329ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
3313ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
34 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
35 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
362, 4, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 3tgbtwnconnln3 25273 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
37 tglineelsb2.6 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
38 tglineelsb2.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑄)
392, 3, 4, 5, 7, 9, 38, 13tgellng 25248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ↔ (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))))
4037, 39mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4140ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
4218, 28, 36, 41mpjao3dan 1387 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
4342an32s 842 . . . 4 (((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
441, 43mpidan 701 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
455ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
467ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
479ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
48 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
4913ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
50 tglineelsb2.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑃)
5150necomd 2837 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑆)
5251ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
53 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
54 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
552, 12, 4, 45, 48, 46, 49, 47, 52, 53, 54tgbtwnouttr 25192 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
562, 3, 4, 45, 46, 47, 48, 55btwncolg2 25251 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
575ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
589ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
59 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
607ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
6113ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
6250ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
63 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
64 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
652, 12, 4, 57, 59, 60, 61, 64tgbtwncom 25183 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑅))
662, 4, 57, 61, 60, 58, 59, 3, 62, 63, 65tgbtwnconnln2 25276 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
672, 3, 4, 57, 58, 59, 60, 66colrot2 25255 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
685ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
699ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
707ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
71 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
7213ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
73 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
74 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆))
752, 12, 4, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74tgbtwnintr 25188 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝑄𝐼𝑅))
762, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 75btwncolg3 25252 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑄𝐿𝑃) ∨ 𝑄 = 𝑃))
772, 3, 4, 68, 69, 70, 71, 76colcom 25253 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
7840ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
7956, 67, 77, 78mpjao3dan 1387 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
8079an32s 842 . . . 4 (((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
811, 80mpidan 701 . . 3 ((𝜑𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
825ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
839ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
84 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
857ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
8613ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
8751ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑃𝑆)
88 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄))
89 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
902, 4, 82, 85, 86, 83, 84, 3, 87, 88, 89tgbtwnconnln1 25275 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑃 ∈ (𝑄𝐿𝑅) ∨ 𝑄 = 𝑅))
912, 3, 4, 82, 83, 84, 85, 90colrot2 25255 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
925ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
937ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃𝐵)
949ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑄𝐵)
95 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑅𝐵)
9613ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝐵)
9750ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆𝑃)
98 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
992, 12, 4, 92, 93, 96, 95, 98tgbtwncom 25183 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑆 ∈ (𝑅𝐼𝑃))
100 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄))
1012, 12, 4, 92, 95, 96, 93, 94, 97, 99, 100tgbtwnouttr2 25190 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑄))
1022, 3, 4, 92, 93, 94, 95, 101btwncolg2 25251 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1035ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1047ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑃𝐵)
1059ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄𝐵)
106 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑅𝐵)
10713ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆𝐵)
108 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆))
109 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1102, 12, 4, 103, 104, 105, 107, 106, 108, 109tgbtwnexch 25193 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑅))
1112, 3, 4, 103, 104, 105, 106, 110btwncolg3 25252 . . . . . 6 ((((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
11240ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑄) ∨ 𝑃 ∈ (𝑆𝐼𝑄) ∨ 𝑄 ∈ (𝑃𝐼𝑆)))
11391, 102, 111, 112mpjao3dan 1387 . . . . 5 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
114113an32s 842 . . . 4 (((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) ∧ 𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
1151, 114mpidan 701 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
116 id 22 . . . 4 (𝜑𝜑)
117 tglineeltr.8 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆))
1185adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1197adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝐵)
12013adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑆𝐵)
12151adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑃𝑆)
122 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑅𝐵) → 𝑅𝐵)
1232, 3, 4, 118, 119, 120, 121, 122tgellng 25248 . . . . 5 ((𝜑𝑅𝐵) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅))))
124123biimpa 500 . . . 4 (((𝜑𝑅𝐵) ∧ 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑆)) → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
125116, 1, 117, 124syl21anc 1317 . . 3 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐼𝑆) ∨ 𝑃 ∈ (𝑅𝐼𝑆) ∨ 𝑆 ∈ (𝑃𝐼𝑅)))
12644, 81, 115, 125mpjao3dan 1387 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄))
12738neneqd 2787 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄)
128 pm5.61 745 . . 3 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) ↔ (𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄))
129128simplbi 475 . 2 (((𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄) ∨ 𝑃 = 𝑄) ∧ ¬ 𝑃 = 𝑄) → 𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
130126, 127, 129syl2anc 691 1 (𝜑𝑅 ∈ (𝑃𝐿𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  LineGclng 25136 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206 This theorem is referenced by:  tglineelsb2  25327  colperpexlem3  25424  mideulem2  25426
 Copyright terms: Public domain W3C validator