Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tg5segofs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tg5segofs 30004
 Description: Rephrase axtg5seg 25164 using the outer five segment predicate. Theorem 2.10 of [Schwabhauser] p. 28. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tg5segofs.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tg5segofs.m = (dist‘𝐺)
tg5segofs.s 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tg5segofs.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tg5segofs.a (𝜑𝐴𝑃)
tg5segofs.b (𝜑𝐵𝑃)
tg5segofs.c (𝜑𝐶𝑃)
tg5segofs.d (𝜑𝐷𝑃)
tg5segofs.e (𝜑𝐸𝑃)
tg5segofs.f (𝜑𝐹𝑃)
tg5segofs.o 𝑂 = (AFS‘𝐺)
tg5segofs.h (𝜑𝐻𝑃)
tg5segofs.i (𝜑𝐼𝑃)
tg5segofs.1 (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
tg5segofs.2 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
tg5segofs (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐻 𝐼))

Proof of Theorem tg5segofs
StepHypRef Expression
1 tg5segofs.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tg5segofs.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 tg5segofs.s . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tg5segofs.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tg5segofs.a . 2 (𝜑𝐴𝑃)
6 tg5segofs.b . 2 (𝜑𝐵𝑃)
7 tg5segofs.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
8 tg5segofs.e . 2 (𝜑𝐸𝑃)
9 tg5segofs.f . 2 (𝜑𝐹𝑃)
10 tg5segofs.h . 2 (𝜑𝐻𝑃)
11 tg5segofs.d . 2 (𝜑𝐷𝑃)
12 tg5segofs.i . 2 (𝜑𝐼𝑃)
13 tg5segofs.2 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
14 tg5segofs.1 . . . . 5 (𝜑 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩)
15 tg5segofs.o . . . . . 6 𝑂 = (AFS‘𝐺)
161, 2, 3, 4, 15, 5, 6, 7, 11, 8, 9, 10, 12brafs 30003 . . . . 5 (𝜑 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, ⟨𝐶, 𝐷⟩⟩𝑂⟨⟨𝐸, 𝐹⟩, ⟨𝐻, 𝐼⟩⟩ ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼)))))
1714, 16mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)) ∧ ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼))))
1817simp1d 1066 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻)))
1918simpld 474 . 2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
2018simprd 478 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸𝐼𝐻))
2117simp2d 1067 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹) ∧ (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻)))
2221simpld 474 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐸 𝐹))
2321simprd 478 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐹 𝐻))
2417simp3d 1068 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼) ∧ (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼)))
2524simpld 474 . 2 (𝜑 → (𝐴 𝐷) = (𝐸 𝐼))
2624simprd 478 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐷) = (𝐹 𝐼))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 19, 20, 22, 23, 25, 26axtg5seg 25164 1 (𝜑 → (𝐶 𝐷) = (𝐻 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  AFScafs 30000 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-afs 30001 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator