Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendodi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendodi2 35091
 Description: Endomorphism composition distributes over sum. (Contributed by NM, 13-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendopl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendopl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendopl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendodi2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐸   𝑓,𝑠,𝑡,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑈(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑉(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendodi2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr1 1060 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑆𝐸)
3 simpr2 1061 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑈𝐸)
4 tendopl.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 tendopl.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 tendopl.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7 tendopl.p . . . . 5 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
84, 5, 6, 7tendoplcl 35087 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑈𝐸) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
91, 2, 3, 8syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
10 simpr3 1062 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → 𝑉𝐸)
114, 6tendococl 35078 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
121, 9, 10, 11syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸)
134, 6tendococl 35078 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑉𝐸) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
141, 2, 10, 13syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
154, 6tendococl 35078 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
161, 3, 10, 15syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
174, 5, 6, 7tendoplcl 35087 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑉) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)) ∈ 𝐸)
181, 14, 16, 17syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)) ∈ 𝐸)
19 simpll 786 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
20 simplr1 1096 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
21 simplr2 1097 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑈𝐸)
2219, 20, 21, 8syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸)
23 simplr3 1098 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑉𝐸)
24 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
254, 5, 6tendocoval 35072 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑆𝑃𝑈) ∈ 𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)))
2619, 22, 23, 24, 25syl121anc 1323 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)))
27 simplll 794 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑊𝐻)
294, 5, 6tendocoval 35072 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
3027, 28, 20, 23, 24, 29syl221anc 1329 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑉)‘𝑔) = (𝑆‘(𝑉𝑔)))
314, 5, 6tendocoval 35072 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
3227, 28, 21, 23, 24, 31syl221anc 1329 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝑔) = (𝑈‘(𝑉𝑔)))
3330, 32coeq12d 5208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈𝑉)‘𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉𝑔))))
3419, 20, 23, 13syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑉) ∈ 𝐸)
3519, 21, 23, 15syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑈𝑉) ∈ 𝐸)
367, 5tendopl2 35083 . . . . . 6 (((𝑆𝑉) ∈ 𝐸 ∧ (𝑈𝑉) ∈ 𝐸𝑔𝑇) → (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈𝑉)‘𝑔)))
3734, 35, 24, 36syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔) = (((𝑆𝑉)‘𝑔) ∘ ((𝑈𝑉)‘𝑔)))
384, 5, 6tendocl 35073 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
3919, 23, 24, 38syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑉𝑔) ∈ 𝑇)
407, 5tendopl2 35083 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑈𝐸 ∧ (𝑉𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉𝑔))))
4120, 21, 39, 40syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)) = ((𝑆‘(𝑉𝑔)) ∘ (𝑈‘(𝑉𝑔))))
4233, 37, 413eqtr4rd 2655 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑆𝑃𝑈)‘(𝑉𝑔)) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔))
4326, 42eqtrd 2644 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) ∧ 𝑔𝑇) → (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔))
4443ralrimiva 2949 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ∀𝑔𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔))
454, 5, 6tendoeq1 35070 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)) ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 (((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉)‘𝑔) = (((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉))‘𝑔)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)))
461, 12, 18, 44, 45syl121anc 1323 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐸𝑈𝐸𝑉𝐸)) → ((𝑆𝑃𝑈) ∘ 𝑉) = ((𝑆𝑉)𝑃(𝑈𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061 This theorem is referenced by:  erngdvlem3  35296  erngdvlem3-rN  35304
 Copyright terms: Public domain W3C validator