Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0tp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0tp 35095
Description: Trace-preserving property of endomorphism additive identity. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0tp.l = (le‘𝐾)
tendo0tp.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendo0tp (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑓)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem tendo0tp
StepHypRef Expression
1 tendo0.o . . . . . 6 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2 tendo0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
31, 2tendo02 35093 . . . . 5 (𝐹𝑇 → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
43adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑂𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
54fveq2d 6107 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (𝑅‘( I ↾ 𝐵)))
6 eqid 2610 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
7 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 tendo0tp.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
92, 6, 7, 8trlid0 34481 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
109adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = (0.‘𝐾))
115, 10eqtrd 2644 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) = (0.‘𝐾))
12 hlop 33667 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1312ad2antrr 758 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
14 tendo0.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
152, 7, 14, 8trlcl 34469 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
16 tendo0tp.l . . . 4 = (le‘𝐾)
172, 16, 6op0le 33491 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1813, 15, 17syl2anc 691 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (0.‘𝐾) (𝑅𝐹))
1911, 18eqbrtrd 4605 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅‘(𝑂𝐹)) (𝑅𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  cmpt 4643   I cid 4948  cres 5040  cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  0.cp0 16860  OPcops 33477  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463  TEndoctendo 35058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464
This theorem is referenced by:  tendo0cl  35096
  Copyright terms: Public domain W3C validator