Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendo0pl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendo0pl 35097
Description: Property of the additive identity endormorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendo0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendo0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendo0.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendo0.o 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
tendo0pl.p 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
Assertion
Ref Expression
tendo0pl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑇,𝑓   𝑡,𝑠,𝐸   𝑇,𝑠,𝑡,𝑓   𝑓,𝑊,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendo0pl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 tendo0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 tendo0.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 tendo0.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 tendo0.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 tendo0.o . . . . 5 𝑂 = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
72, 3, 4, 5, 6tendo0cl 35096 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑂𝐸)
87adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑂𝐸)
9 simpr 476 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → 𝑆𝐸)
10 tendo0pl.p . . . 4 𝑃 = (𝑠𝐸, 𝑡𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓))))
113, 4, 5, 10tendoplcl 35087 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑂𝐸𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
121, 8, 9, 11syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
13 simpll 786 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1413, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑂𝐸)
15 simplr 788 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑆𝐸)
16 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → 𝑔𝑇)
1710, 4tendopl2 35083 . . . . 5 ((𝑂𝐸𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)))
196, 2tendo02 35093 . . . . . 6 (𝑔𝑇 → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2019adantl 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑂𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
2120coeq1d 5205 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑔) ∘ (𝑆𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)))
223, 4, 5tendocl 35073 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
23223expa 1257 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
242, 3, 4ltrn1o 34428 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
2513, 23, 24syl2anc 691 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵)
26 f1of 6050 . . . . 5 ((𝑆𝑔):𝐵1-1-onto𝐵 → (𝑆𝑔):𝐵𝐵)
27 fcoi2 5992 . . . . 5 ((𝑆𝑔):𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)) = (𝑆𝑔))
2825, 26, 273syl 18 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑆𝑔)) = (𝑆𝑔))
2918, 21, 283eqtrd 2648 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3029ralrimiva 2949 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ∀𝑔𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
313, 4, 5tendoeq1 35070 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑂𝑃𝑆) ∈ 𝐸𝑆𝐸) ∧ ∀𝑔𝑇 ((𝑂𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔)) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
321, 12, 9, 30, 31syl121anc 1323 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑂𝑃𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cmpt 4643   I cid 4948  cres 5040  ccom 5042  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  Basecbs 15695  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  TEndoctendo 35058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tendo 35061
This theorem is referenced by:  tendo0plr  35098  erngdvlem1  35294  erngdvlem4  35297  erng0g  35300  erngdvlem1-rN  35302  erngdvlem4-rN  35305  dvh0g  35418  dvhopN  35423  diblss  35477  diblsmopel  35478
  Copyright terms: Public domain W3C validator