Theorem tdeglem3 23623

Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
tdeglem.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))

Assertion

Ref	Expression
tdeglem3	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,ℎ   ℎ,𝐼,𝑚   ℎ,𝑉   ℎ,𝑋,𝑚   ℎ,𝑌,𝑚

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚)   𝐻(ℎ,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem tdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 19571	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfld0 19589	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
3		cnfldadd 19572	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4		cnring 19587	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
5		ringcmn 18404	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ℂfld ∈ CMnd)
7		simp1 1054	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		tdeglem.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑚 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑚 “ ℕ) ∈ Fin}
9	8	psrbagf 19186	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
10		nn0sscn 11174	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
11		fss 5969	. . . . 5 ⊢ ((𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
12	9, 10, 11	sylancl 693	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
13	12	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
14	8	psrbagf 19186	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℕ0)
15		fss 5969	. . . . 5 ⊢ ((𝑌:𝐼⟶ℕ0 ∧ ℕ0 ⊆ ℂ) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
16	14, 10, 15	sylancl 693	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
17	16	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
18	8	psrbagfsupp 19330	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑋 finSupp 0)
19	18	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
20	19	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑋 finSupp 0)
21	8	psrbagfsupp 19330	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 finSupp 0)
22	21	ancoms 468	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
23	22	3adant2 1073	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → 𝑌 finSupp 0)
24	1, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23	gsumadd 18146	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (ℂfld Σg (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
25	8	psrbagaddcl 19191	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐴)
26		oveq2 6557	. . . 4 ⊢ (ℎ = (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)))
27		tdeglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ 𝐴 ↦ (ℂfld Σg ℎ))
28		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (ℂfld Σg (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)) ∈ V
29	26, 27, 28	fvmpt 6191	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘𝑓 + 𝑌) ∈ 𝐴 → (𝐻‘(𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)))
30	25, 29	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)) = (ℂfld Σg (𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)))
31		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑋 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑋))
32		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg 𝑋) ∈ V
33	31, 27, 32	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑋) = (ℂfld Σg 𝑋))
34		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝑌 → (ℂfld Σg ℎ) = (ℂfld Σg 𝑌))
35		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (ℂfld Σg 𝑌) ∈ V
36	34, 27, 35	fvmpt 6191	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → (𝐻‘𝑌) = (ℂfld Σg 𝑌))
37	33, 36	oveqan12d 6568	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
38	37	3adant1 1072	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)) = ((ℂfld Σg 𝑋) + (ℂfld Σg 𝑌)))
39	24, 30, 38	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝐻‘(𝑋 ∘𝑓 + 𝑌)) = ((𝐻‘𝑋) + (𝐻‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  ℂcc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169   Σ_g cgsu 15924  CMndccmn 18016  Ringcrg 18370  ℂ_fldccnfld 19567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-cnfld 19568

This theorem is referenced by:  mdegmullem  23642