Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchphl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchphl 22834
 Description: Augmentation of a pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space because all the original components are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tchval.n 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tchphl (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Proof of Theorem tchphl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . . 3 (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2 tchval.n . . . . 5 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
3 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
42, 3tchbas 22826 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
54a1i 11 . . 3 (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
72, 6tchplusg 22827 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝐺)
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → (+g𝑊) = (+g𝐺))
98oveqdr 6573 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g𝑊)𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
10 eqidd 2611 . . 3 (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
11 eqid 2610 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
122, 11tchsca 22830 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺)
1312a1i 11 . . 3 (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺))
14 eqid 2610 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
162, 15tchvsca 22831 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺)
1716a1i 11 . . . 4 (⊤ → ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝐺))
1817oveqdr 6573 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝐺)𝑦))
19 eqid 2610 . . . . . 6 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
202, 19tchip 22832 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝐺)
2120a1i 11 . . . 4 (⊤ → (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝐺))
2221oveqdr 6573 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖𝐺)𝑦))
231, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22phlpropd 19819 . 2 (⊤ → (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil))
2423trud 1484 1 (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  ·𝑖cip 15773  PreHilcphl 19788  toℂHilctch 22775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ds 15791  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-phl 19790  df-tng 22199  df-tch 22777 This theorem is referenced by:  tchcph  22844
 Copyright terms: Public domain W3C validator