Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tchcphlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tchcphlem2 22843
 Description: Lemma for tchcph 22844: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
tchcph.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
tchcph.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
tchcph.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
tchcph.2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
tchcph.h , = (·𝑖𝑊)
tchcph.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (√‘𝑥) ∈ 𝐾)
tchcph.4 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
tchcph.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
tchcph.s · = ( ·𝑠𝑊)
tchcphlem2.3 (𝜑𝑋𝐾)
tchcphlem2.4 (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
tchcphlem2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑥, ,   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem tchcphlem2
StepHypRef Expression
1 tchval.n . . . . . . 7 𝐺 = (toℂHil‘𝑊)
2 tchcph.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 tchcph.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 tchcph.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
5 tchcph.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
61, 2, 3, 4, 5tchclm 22839 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℂMod)
7 tchcph.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
83, 7clmsscn 22687 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → 𝐾 ⊆ ℂ)
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
10 tchcphlem2.3 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
119, 10sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211cjmulrcld 13794 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · (∗‘𝑋)) ∈ ℝ)
1311cjmulge0d 13796 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · (∗‘𝑋)))
14 tchcphlem2.4 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
15 tchcph.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
161, 2, 3, 4, 5, 15tchcphlem3 22840 . . . 4 ((𝜑𝑌𝑉) → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
1714, 16mpdan 699 . . 3 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℝ)
18 tchcph.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
1918ralrimiva 2949 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥))
20 oveq12 6558 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌) → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2120anidms 675 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 , 𝑥) = (𝑌 , 𝑌))
2221breq2d 4595 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (0 ≤ (𝑥 , 𝑥) ↔ 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
2322rspcv 3278 . . . 4 (𝑌𝑉 → (∀𝑥𝑉 0 ≤ (𝑥 , 𝑥) → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌)))
2414, 19, 23sylc 63 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑌 , 𝑌))
2512, 13, 17, 24sqrtmuld 14011 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
26 phllmod 19794 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
274, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
28 tchcph.s . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
292, 3, 28, 7lmodvscl 18703 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3027, 10, 14, 29syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉)
31 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
32 eqid 2610 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
333, 15, 2, 7, 28, 31, 32ipassr 19810 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑋𝐾)) → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
344, 30, 14, 10, 33syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
353clmmul 22683 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r𝐹))
366, 35syl 17 . . . . 5 (𝜑 → · = (.r𝐹))
3736oveqd 6566 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
383, 15, 2, 7, 28, 31ipass 19809 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑋𝐾𝑌𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
394, 10, 14, 14, 38syl13anc 1320 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌) = (𝑋(.r𝐹)(𝑌 , 𝑌)))
4037, 39eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) = ((𝑋 · 𝑌) , 𝑌))
413clmcj 22684 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂMod → ∗ = (*𝑟𝐹))
426, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∗ = (*𝑟𝐹))
4342fveq1d 6105 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) = ((*𝑟𝐹)‘𝑋))
4436, 40, 43oveq123d 6570 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = (((𝑋 · 𝑌) , 𝑌)(.r𝐹)((*𝑟𝐹)‘𝑋)))
4517recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 , 𝑌) ∈ ℂ)
4611cjcld 13784 . . . . 5 (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ ℂ)
4711, 45, 46mul32d 10125 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑌 , 𝑌)) · (∗‘𝑋)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4834, 44, 473eqtr2d 2650 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌)) = ((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌)))
4948fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = (√‘((𝑋 · (∗‘𝑋)) · (𝑌 , 𝑌))))
50 absval 13826 . . . 4 (𝑋 ∈ ℂ → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5111, 50syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝑋) = (√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))))
5251oveq1d 6564 . 2 (𝜑 → ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))) = ((√‘(𝑋 · (∗‘𝑋))) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
5325, 49, 523eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (√‘((𝑋 · 𝑌) , (𝑋 · 𝑌))) = ((abs‘𝑋) · (√‘(𝑌 , 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   ≤ cle 9954  ∗ccj 13684  √csqrt 13821  abscabs 13822  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  .rcmulr 15769  *𝑟cstv 15770  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  ·𝑖cip 15773  LModclmod 18686  ℂfldccnfld 19567  PreHilcphl 19788  ℂModcclm 22670  toℂHilctch 22775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-phl 19790  df-clm 22671 This theorem is referenced by:  tchcph  22844
 Copyright terms: Public domain W3C validator