MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1ficld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem t1ficld 20941
Description: In a T1 space, finite sets are closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
t1ficld ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem t1ficld
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunid 4511 . 2 𝑥𝐴 {𝑥} = 𝐴
2 ist0.1 . . . . . 6 𝑋 = 𝐽
32ist1 20935 . . . . 5 (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
43simplbi 475 . . . 4 (𝐽 ∈ Fre → 𝐽 ∈ Top)
543ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐽 ∈ Top)
6 simp3 1056 . . 3 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
73simprbi 479 . . . . 5 (𝐽 ∈ Fre → ∀𝑥𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
8 ssralv 3629 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (∀𝑥𝑋 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
97, 8mpan9 485 . . . 4 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
1093adant3 1074 . . 3 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
112iuncld 20659 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
125, 6, 10, 11syl3anc 1318 . 2 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝑥𝐴 {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
131, 12syl5eqelr 2693 1 ((𝐽 ∈ Fre ∧ 𝐴𝑋𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wss 3540  {csn 4125   cuni 4372   ciun 4455  cfv 5804  Fincfn 7841  Topctop 20517  Clsdccld 20630  Frect1 20921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-top 20521  df-cld 20633  df-t1 20928
This theorem is referenced by:  poimirlem30  32609
  Copyright terms: Public domain W3C validator