Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgextres 17668
 Description: The restriction of the extension of a permutation, fixing the additional element, to the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
Assertion
Ref Expression
symgextres ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextres
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . . 4 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2 symgext.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍𝑥)))
31, 2symgextfv 17661 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
43ralrimiv 2948 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖))
51, 2symgextf 17660 . . . 4 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸:𝑁𝑁)
6 ffn 5958 . . . 4 (𝐸:𝑁𝑁𝐸 Fn 𝑁)
75, 6syl 17 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝐸 Fn 𝑁)
8 eqid 2610 . . . . . 6 (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
98, 1symgbasf 17627 . . . . 5 (𝑍𝑆𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}))
10 ffn 5958 . . . . 5 (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑍𝑆𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
1211adantl 481 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → 𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾}))
13 difssd 3700 . . 3 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
14 fvreseq1 6226 . . 3 (((𝐸 Fn 𝑁𝑍 Fn (𝑁 ∖ {𝐾})) ∧ (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
157, 12, 13, 14syl21anc 1317 . 2 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → ((𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍 ↔ ∀𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})(𝐸𝑖) = (𝑍𝑖)))
164, 15mpbird 246 1 ((𝐾𝑁𝑍𝑆) → (𝐸 ↾ (𝑁 ∖ {𝐾})) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  SymGrpcsymg 17620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-symg 17621 This theorem is referenced by:  symgfixfo  17682
 Copyright terms: Public domain W3C validator