Theorem symgextfo 17665

Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgext.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
symgext.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
symgextfo	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem symgextfo

Dummy variables 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgext.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})))
2		symgext.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 𝐾, (𝑍‘𝑥)))
3	1, 2	symgextf 17660	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁⟶𝑁)
4		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾})) = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
5	4, 1	symgbasf1o 17626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
6		f1ofo 6057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–1-1-onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑆 → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}))
9		dffo3 6282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})–onto→(𝑁 ∖ {𝐾}) ↔ (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
10	8, 9	sylib 207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍:(𝑁 ∖ {𝐾})⟶(𝑁 ∖ {𝐾}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
11	10	simprd 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖))
12	1, 2	symgextfv 17661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖)))
13	12	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝐸‘𝑖) = (𝑍‘𝑖))
14	13	eqeq2d 2620	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})) → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
15	14	rexbidva 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
16	15	ralbidv 2969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝑍‘𝑖)))
17	11, 16	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖))
18		difssd 3700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁)
19		ssrexv 3630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ⊆ 𝑁 → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾}) → (∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
21	20	ralimia 2934	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})𝑘 = (𝐸‘𝑖) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
22	17, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
23		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ 𝑁)
24	1, 2	symgextfve 17662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
25	24	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑖 = 𝐾 → (𝐸‘𝑖) = 𝐾))
26	25	imp 444	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → (𝐸‘𝑖) = 𝐾)
27	26	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝐾) → 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
28	23, 27	rspcedeq2vd 3291	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))
29		eqeq1 2614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
30	29	rexbidv 3034	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖)))
31	30	ralunsn 4360	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ∧ ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝐾 = (𝐸‘𝑖))))
33	22, 28, 32	mpbir2and 959	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
34		difsnid 4282	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → 𝑁 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾}))
36	35	raleqdv 3121	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑁 → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖) ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝑁 ∖ {𝐾}) ∪ {𝐾})∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
38	33, 37	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖))
39		dffo3 6282	. 2 ⊢ (𝐸:𝑁–onto→𝑁 ↔ (𝐸:𝑁⟶𝑁 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑁 ∃𝑖 ∈ 𝑁 𝑘 = (𝐸‘𝑖)))
40	3, 38, 39	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝐸:𝑁–onto→𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  SymGrpcsymg 17620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-symg 17621

This theorem is referenced by:  symgextf1o  17666