Theorem swrd2lsw 13543

Description: Extract the last two symbols from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrd2lsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrd2lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		lencl 13179	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		1z 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		nn0z 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
5		zltp1le 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
7		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
9	8	breq1d 4593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
10	9	biimpd 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) ≤ (#‘𝑊) → 2 ≤ (#‘𝑊)))
11	6, 10	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) → 2 ≤ (#‘𝑊)))
12	11	imp 444	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
13		2nn0 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
14	13	jctl 562	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0))
16		nn0sub 11220	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ0) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (2 ≤ (#‘𝑊) ↔ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0))
18	12, 17	mpbid 221	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
19	2, 18	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0)
20		0red 9920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
21		1red 9934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
22		zre 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
23	20, 21, 22	3jca 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ))
24		0lt1 10429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
25		lttr 9993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → 0 < (#‘𝑊)))
26	25	expd 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (0 < 1 → (1 < (#‘𝑊) → 0 < (#‘𝑊))))
27	23, 24, 26	mpisyl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (#‘𝑊) → 0 < (#‘𝑊)))
28		elnnz 11264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
29	28	simplbi2 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
30	27, 29	syld 46	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (1 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
31	4, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑊) → (#‘𝑊) ∈ ℕ))
32	31	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
33		fzo0end 12426	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
35		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
36		2cn 10968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
38		1cnd 9935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
39	35, 37, 38	3jca 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
40		1e2m1 11013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (2 − 1)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 = (2 − 1))
42	41	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − 1) = ((#‘𝑊) − (2 − 1)))
43		subsub 10190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
44	42, 43	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
45	39, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
46	45	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
47	46	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
48	47	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((#‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
49	34, 48	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
50	2, 49	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
51	1, 19, 50	3jca 1235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))))
52		swrds2 13533	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) − 2) ∈ ℕ0 ∧ (((#‘𝑊) − 2) + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
53	51, 52	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
54	35, 36	jctir 559	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ))
55		npcan 10169	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 2) + 2) = (#‘𝑊))
56	55	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (((#‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
57	2, 54, 56	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) = (((#‘𝑊) − 2) + 2))
59	58	opeq2d 4347	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩ = ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩)
60	59	oveq2d 6565	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (((#‘𝑊) − 2) + 2)⟩))
61		eqidd 2611	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 2)) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 2)))
62		lsw 13204	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
63	39, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
64	63	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − (2 − 1)))
65		2m1e1 11012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
67	66	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) − (2 − 1)) = ((#‘𝑊) − 1))
68	64, 67	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
69	2, 68	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑊) − 2) + 1) = ((#‘𝑊) − 1))
70	69	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) − 1) = (((#‘𝑊) − 2) + 1))
71	70	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
72	62, 71	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
73	72	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1)))
74	61, 73	s2eqd 13459	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))(𝑊‘(((#‘𝑊) − 2) + 1))”⟩)
75	53, 60, 74	3eqtr4d 2654	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨((#‘𝑊) − 2), (#‘𝑊)⟩) = ⟨“(𝑊‘((#‘𝑊) − 2))( lastS ‘𝑊)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150  ⟨“cs2 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-s2 13444

This theorem is referenced by:  2swrd2eqwrdeq  13544