Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supisolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supisolem 8262
 Description: Lemma for supiso 8264. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
supiso.1 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
supiso.2 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
supisolem ((𝜑𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑣,𝑦,𝑧,𝐴   𝑣,𝐶,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤   𝑣,𝐹,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑦,𝑧   𝑣,𝑆,𝑤,𝑦,𝑧   𝑣,𝐵,𝑤,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑣)   𝐷(𝑣)   𝑅(𝑣)

Proof of Theorem supisolem
StepHypRef Expression
1 supiso.1 . . 3 (𝜑𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 supiso.2 . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
31, 2jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴))
4 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
54adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
6 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐷𝐴)
7 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐶𝐴)
87sselda 3568 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐴)
9 isorel 6476 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝐷𝐴𝑦𝐴)) → (𝐷𝑅𝑦 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
105, 6, 8, 9syl12anc 1316 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → (𝐷𝑅𝑦 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1110notbid 307 . . . . 5 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → (¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1211ralbidva 2968 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
13 isof1o 6473 . . . . . . 7 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
144, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
15 f1ofn 6051 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
17 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1817notbid 307 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐹𝑦) → (¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
1918ralima 6402 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝐶𝐴) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
2016, 7, 19syl2anc 691 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ↔ ∀𝑦𝐶 ¬ (𝐹𝐷)𝑆(𝐹𝑦)))
2112, 20bitr4d 270 . . 3 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤))
224adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
23 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
24 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐷𝐴)
25 isorel 6476 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝐷𝐴)) → (𝑦𝑅𝐷 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷)))
2622, 23, 24, 25syl12anc 1316 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝐷 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷)))
2722adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
28 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑦𝐴)
297adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐶𝐴)
3029sselda 3568 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → 𝑧𝐴)
31 isorel 6476 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) → (𝑦𝑅𝑧 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3227, 28, 30, 31syl12anc 1316 . . . . . . . 8 (((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑦𝑅𝑧 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3332rexbidva 3031 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3416adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
35 breq2 4587 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3635rexima 6401 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝐶𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3734, 29, 36syl2anc 691 . . . . . . 7 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑧𝐶 (𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝑧)))
3833, 37bitr4d 270 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣))
3926, 38imbi12d 333 . . . . 5 ((((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣)))
4039ralbidva 2968 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣)))
41 f1ofo 6057 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
42 breq1 4586 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) ↔ 𝑤𝑆(𝐹𝐷)))
43 breq1 4586 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → ((𝐹𝑦)𝑆𝑣𝑤𝑆𝑣))
4443rexbidv 3034 . . . . . . 7 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))
4542, 44imbi12d 333 . . . . . 6 ((𝐹𝑦) = 𝑤 → (((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4645cbvfo 6444 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 → (∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4714, 41, 463syl 18 . . . 4 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 ((𝐹𝑦)𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)(𝐹𝑦)𝑆𝑣) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4840, 47bitrd 267 . . 3 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣)))
4921, 48anbi12d 743 . 2 (((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐶𝐴) ∧ 𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
503, 49sylan 487 1 ((𝜑𝐷𝐴) → ((∀𝑦𝐶 ¬ 𝐷𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐷 → ∃𝑧𝐶 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑤 ∈ (𝐹𝐶) ¬ (𝐹𝐷)𝑆𝑤 ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤𝑆(𝐹𝐷) → ∃𝑣 ∈ (𝐹𝐶)𝑤𝑆𝑣))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   “ cima 5041   Fn wfn 5799  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813 This theorem is referenced by:  supisoex  8263  supiso  8264
 Copyright terms: Public domain W3C validator