Theorem supicclub 12193

Description: The supremum of a bounded set of real numbers is the least upper bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
supicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
supicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
supicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
supicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
supiccub.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
supicclub	⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐷

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem supicclub

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supicc.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝐵[,]𝐶))
2		supicc.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		supicc.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		iccssre 12126	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵[,]𝐶) ⊆ ℝ)
6	1, 5	sstrd 3578	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		supicc.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
8	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 9968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	rexrd 9968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12	1	sselda 3568	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
13		iccleub 12100	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 ≤ 𝐶)
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝐶)
15	14	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶)
16		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ 𝐶))
17	16	ralbidv 2969	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶))
18	17	rspcev 3282	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
19	3, 15, 18	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
20		supiccub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
21	6, 20	sseldd 3569	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
22		suprlub 10864	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦) ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))
23	6, 7, 19, 21, 22	syl31anc 1321	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝐷 < 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  supicclub2  12194