Theorem sup2 10858

Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Stronger version of completeness axiom (it has a slightly weaker antecedent). (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
sup2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2re 10088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
4		ssel 3562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
5		ltp1 10740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6	1	ancli 572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
7		lttr 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
8	7	3expb 1258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ)) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
9	6, 8	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
10	5, 9	sylan2i 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
11	10	exp4b 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
12	11	com34 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
13	12	pm2.43d 51	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
14	13	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
15		breq1 4586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 < (𝑥 + 1) ↔ 𝑥 < (𝑥 + 1)))
16	5, 15	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
18	14, 17	jaod 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))
19	18	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
20	4, 19	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
21	20	com23 84	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1)))))
22	21	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
23	22	a2d 29	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 < (𝑥 + 1))))
24	23	ralimdv2 2944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
25	24	expimpd 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
26	3, 25	jcad 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
27		ovex 6577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 + 1) ∈ V
28		eleq1 2676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑧 ∈ ℝ ↔ (𝑥 + 1) ∈ ℝ))
29		breq2 4587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < (𝑥 + 1)))
30	29	ralbidv 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)))
31	28, 30	anbi12d 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1))))
32	27, 31	spcev 3273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < (𝑥 + 1)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧))
33	26, 32	syl6 34	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
34	33	exlimdv 1848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
35		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
36		breq2 4587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 < 𝑧 ↔ 𝑦 < 𝑥))
37	36	ralbidv 2969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
38	35, 37	anbi12d 743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
39	38	cbvexv 2263	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
40	34, 39	syl6ib 240	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥)))
41		df-rex 2902	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
42		df-rex 2902	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
43	40, 41, 42	3imtr4g 284	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
44	43	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
45	44	imdistani 722	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
46		df-3an 1033	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
47		df-3an 1033	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) ↔ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
48	45, 46, 47	3imtr4i 280	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥))
49		axsup 9992	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
50	48, 49	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  sup3  10859  nnunb  11165