Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submgmacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submgmacs 41594
 Description: Submagmas are an algebraic closure system. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
submgmacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submgmacs (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submgmacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submgmacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2issubmgm 41579 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
4 selpw 4115 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
54anbi1i 727 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
63, 5syl6bbr 277 . . . 4 (𝐺 ∈ Mgm → (𝑠 ∈ (SubMgm‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
76abbi2dv 2729 . . 3 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
8 df-rab 2905 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
97, 8syl6eqr 2662 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠})
10 fvex 6113 . . . 4 (Base‘𝐺) ∈ V
111, 10eqeltri 2684 . . 3 𝐵 ∈ V
121, 2mgmcl 17068 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
13123expb 1258 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
1413ralrimivva 2954 . . 3 (𝐺 ∈ Mgm → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
15 acsfn2 16147 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
1611, 14, 15sylancr 694 . 2 (𝐺 ∈ Mgm → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
179, 16eqeltrd 2688 1 (𝐺 ∈ Mgm → (SubMgm‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cab 2596  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  ACScacs 16068  Mgmcmgm 17063  SubMgmcsubmgm 41568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-submgm 41570 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator