Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  submatres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submatres 29200
 Description: Special case where the submatrix is a restriction of the initial matrix, and no renumbering occurs. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
submat1n.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
submat1n.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
submatres ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))

Proof of Theorem submatres
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submat1n.a . . 3 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
2 submat1n.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2submat1n 29199 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁))
4 simpr 476 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
5 nnuz 11599 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
65eleq2i 2680 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
76biimpi 205 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
8 eluzfz2 12220 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
109adantr 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
11 eqid 2610 . . . 4 ((1...𝑁) subMat 𝑅) = ((1...𝑁) subMat 𝑅)
121, 11, 2submaval 20206 . . 3 ((𝑀𝐵𝑁 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁)) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
134, 10, 10, 12syl3anc 1318 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(((1...𝑁) subMat 𝑅)‘𝑀)𝑁) = (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
14 fzdif2 28939 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
157, 14syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
16 difss 3699 . . . . . 6 ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ⊆ (1...𝑁)
1715, 16syl6eqssr 3619 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
1817adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁))
19 resmpt2 6656 . . . 4 (((1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁) ∧ (1...(𝑁 − 1)) ⊆ (1...𝑁)) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2018, 18, 19syl2anc 691 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
211, 2matmpt2 29197 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 = (𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2221reseq1d 5316 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
2322adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = ((𝑖 ∈ (1...𝑁), 𝑗 ∈ (1...𝑁) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
2415adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) = (1...(𝑁 − 1)))
25 eqidd 2611 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
2624, 24, 25mpt2eq123dv 6615 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖 ∈ (1...(𝑁 − 1)), 𝑗 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
2720, 23, 263eqtr4rd 2655 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑖 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}), 𝑗 ∈ ((1...𝑁) ∖ {𝑁}) ↦ (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
283, 13, 273eqtrd 2648 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁(subMat1‘𝑀)𝑁) = (𝑀 ↾ ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  Basecbs 15695   Mat cmat 20032   subMat csubma 20201  subMat1csmat 29187 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033  df-subma 20202  df-smat 29188 This theorem is referenced by:  madjusmdetlem3  29223
 Copyright terms: Public domain W3C validator